Интервальные оценки
При выборке малого объема точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого параметра, что приводит к грубым ошибкам. Поэтому в таком случае лучше пользоваться интервальными оценками, то есть указывать интервал, в который с заданной вероятностью попадает истинное значение оцениваемого параметра. Разумеется, чем меньше длина этого интервала, тем точнее оценка параметра. Поэтому, если для оценки Θ* некоторого параметра Θ справедливо неравенство | Θ* - Θ | < δ, число δ > 0 характеризует точность оценки (чем меньше δ, тем точнее оценка). Но статистические методы позволяют говорить только о том, что это неравенство выполняется с некоторой вероятностью.
Надежностью (доверительной вероятностью) оценки Θ* параметра Θ называется вероятность γ того, что выполняется неравенство | Θ* - Θ | < δ. Если заменить это неравенство двойным неравенством – δ < Θ* - Θ < δ, то получим:
p (Θ* - δ < Θ < Θ* + δ) = γ.
|
|
Таким образом, γ есть вероятность того, что Θ попадает в интервал (Θ* - δ, Θ* + δ).
Доверительным называется интервал, в который попадает неизвестный параметр с заданной надежностью γ.
1. Интервальная оценка (с надежностью ) математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии.
Пусть исследуемая случайная величина Х распределена по нормальному закону с известным средним квадратическим σ, и требуется по значению выборочного среднего оценить ее математическое ожидание а. Будем рассматривать выборочное среднее как случайную величину а значения вариант выборки х 1, х 2,…, хп как одинаково распределенные независимые случайные величины Х 1, Х 2,…, Хп, каждая из которых имеет математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение σ. При этом М() = а, (используем свойства математического ожидания и дисперсии суммы независимых случайных величин). Оценим вероятность выполнения неравенства . Применим формулу для вероятности попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал:
Тогда, с учетом того, что ,
, где .
Отсюда, и предыдущее равенство можно переписать так:
.
Итак, значение математического ожидания а с вероятностью (надежностью) γ попадает в интервал , где значение t определяется из таблиц для функции Лапласа так, чтобы выполнялось равенство 2Ф(t) = γ.