Лекция 13. Рис. 2.13. Определение кривизны кривой

Рис. 2.13. Определение кривизны кривой

Средней кривизной на этом участке траектории называется отношение k_ср = Dj / DS. Предел этого отношения при D называется кривизной траектории в точке M, а величина обратная кривизне, называется радиусом кривизны.

. (2.15) (2.16)

Вычислим производную единичного вектора по времени - . Для определения модуля производной отложим из одного центра векторы и (рис. 2.14). Учитывая, что изменение единичного вектора ‚ равно основанию образовавшегося равнобедренного треугольника, получаем:

Рис. 2.14. К определению величины и направления вектора dт/dt

Из рис. 2.14 видно, что при стремлении Dt к нулю, углы при основании треугольника стремятся к прямым углам и, следовательно, вектор направлен перпендикулярно вектору ‚ внутрь траектории (т.е. по главной нормали). С учетом этого:

. (2.17)

Перейдем к выводу формул, определяющих ускорение точки при естественном способе задания движения. Согласно (2.10) и (2.11), имеем:

. (2.18)

Первое слагаемое в правой части (2.18) направлено по касательной к траектории и называется касательной составляющей полного ускорения:

, . (2.19)

Если ,то касательное ускорение направлено в сторону увеличения дуговой координаты S (т.е. совпадает по направлению с вектором ). Второе слагаемое в правой части выражения (2.18) называется нормальной составляющей полного ускорения, так как согласно (2.15), (2.16) и (2.17):

, . (2.20)

Итак, ускорение при естественном способе задания движения определяется как геометрическая сумма (рис. 2.15) его касательной и нормальной составляющих:

, . (2.21)

Рис. 2.15. Определение полного ускорения точки

Касательное ускорение характеризует изменение скорости по величине, нормальное ускорение - по направлению. Отметим случаи, когда равны нулю отдельные составляющие ускорения.

Касательное ускорение W_t = dV/dt равно нулю при равномерном движении (V = const) и в точках траектории, где величина скорости достигает своего минимального или максимального значения (dV/dt)=0.

Нормальное ускорение W_n = V²/r равно нулю при прямолинейном движении и в точках перегиба траектории (когда ), а также в моменты смены направления скорости на противоположное (когда V = 0).

2. Частные случаи движения точки

Все выведенные выше формулы справедливы для любого движения точки. Рассмотрим теперь два важных частных случая - равномерное и равнопеременное движение.

Равномерным называется движение точки с постоянной по величине скоростью, т.е. когда V = const. Выведем уравнение равномерного движения.

Согласно (2.10) V = dS/dt или dS = V dt. Интегрируя последнее выражение и учитывая, что V = const, получаем закон равномерного движения:

. (2.22)

Равнопеременным (равноускоренным или равнозамедленным) называется движение с постоянным по величине касательным ускорением (W_t= const). Получим формулы для такого движения. Имеем:

, , ,

- закон изменения скорости. (2.23)

Подставляя вместо V = dS/dt и интегрируя полученное выражение, находим закон или уравнение равнопеременного движения:

, , ,

. (2.24)

Пример. Точка движется по окружности радиуса R равноускоренно из состояния покоя и совершает первый полный оборот за T секунд. Определить модули скорости и ускорения точки в конце этого промежутка времени.

Решение. Так как по условию задачи движение точки равноускоренное, воспользуемся формулой (2.24) для определения касательного ускорения точки: