Интерполирование функций

Дана табличная функция, т.е. дана таблица, в которой для некоторых дискретных значений аргумента x_i, расположенных в порядке возрастания, заданы соответствующие значения функции у_i:

i	x	y
0	x₀	y₀
1	x₁	y₁
2	x₂	y₂
...	...	...
i	x_i	y_i
...	...	...
n	x_n	y_n

(11.1)

Точки с координатами (x_i, y_i) называются узловыми точками или узлами.

Количество узлов в табличной функции равно

N=n+1.

На графике табличная функция представляется в виде совокупности узловых точек (рис. 11.1).

Рис. 11.1.

Длина участка [x₀, x_n] равна (x_n - x₀).

В расчетной практике инженера часто возникают задачи найти значение функции для аргументов, которые отсутствуют в таблице. Такие задачи называются задачами интерполирования или экстраполирования.

Задача интерполирования функции (или задача интерполяции) состоит в том, чтобы найти значения y_k табличной функции в любой промежуточной точке х_к, расположенной внутри интервала [x₀, x_n], т.е.

Задача экстраполирования функции (или задача экстраполяции) состоит в том, чтобы найти значения y_l табличной функции в точке х_l, которая не входит в интервал [x₀, x_n], т.е.

Такую задачу часто называют задачей прогноза.

Обе эти задачи решаются при помощи нахождения аналитического выражения некоторой вспомогательной функции F(x), которая приближала бы заданную табличную функцию, т.е. в узловых точках принимала бы значение табличных функций

Для определенности задачи искомую функцию F(x) будем искать из класса алгебраических многочленов:

(11.2)

Этот многочлен должен пройти через все узловые точки, т.е.

(11.3)

Поэтому степень многочлена n зависит от количества узловых точек N и равна количеству узловых точек минус один, т.е. n=N-1.

Многочлен вида (11.2), который проходит через все узловые точки табличной функции называется интерполяционным многочленом.

Интерполирование с помощью алгебраических многочленов называется параболическим интерполированием.

Таким образом, для решения задачи интерполирования прежде всего необходимо решить задачу, которую можно сформулировать следующим образом:

для функции , заданной таблично, построить интерполяционный многочлен степени n, который проходит через все узловые точки таблицы:

где

n-степень многочлена, равная количеству узловых точек N минус один,т.е. n=N-1.

В результате, в любой другой промежуточной точке х_k, расположенной внутри отрезка [x₀,x_n] выполняется приближенное равенство Pn(xk) f(xk) yk. (рис.11.2)