Краткие теоретические сведения

Практическая работа № 18. Проведение операций над случайными событиями.

Цель занятия. Развивать умения и навыки решения задач на определение характеристик случайной величины, на определение классической вероятности с использованием основных формул.

Краткие теоретические сведения

Определение. Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принимать то или иное значение, причем заранее известно какое именно.

Случайные величины можно разделить на две категории.

Определение. Дискретной случайной величиной называется такая величина, которая в результате опыта может принимать определенные значения с определенной вероятностью, образующие счетное множество (множество, элементы которого могут быть занумерованы).

Это множество может быть как конечным, так и бесконечным.

Например, количество выстрелов до первого попадания в цель является дискретной случайной величиной, т.к. эта величина может принимать и бесконечное, хотя и счетное количество значений.

Определение. Непрерывной случайной величиной называется такая величина, которая может принимать любые значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Очевидно, что число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

Математическая (или теоретическая) статистика опирается на методы и понятия теории вероятностей, но решает в каком-то смысле обратные задачи.

В теории вероятностей рассматриваются случайные величины с заданным распределением или случайные эксперименты, свойства которых целиком известны. Предмет теории вероятностей – свойства и взаимосвязи этих величин (распределений).

Но часто эксперимент представляет собой черный ящик, выдающий лишь некие результаты, по которым требуется сделать вывод о свойствах самого эксперимента. Наблюдатель имеет набор числовых (или их можно сделать числовыми) результатов, полученных повторением одного и того же случайного эксперимента в одинаковых условиях.

При этом возникают, например, следующие вопросы: Если мы наблюдаем одну случайную величину – как по набору ее значений в нескольких опытах сделать как можно более точный вывод о ее распределении?

Если мы наблюдаем одновременно проявление двух (или более) признаков, т.е. имеем набор значений нескольких случайных величин — что можно сказать об их зависимости? Есть она или нет? А если есть, то какова эта зависимость?

Часто бывает возможно высказать некие предположения о распределении, спрятанном в “черном ящике”, или о его свойствах. В этом случае по опытным данным требуется подтвердить или опровергнуть эти предположения (“гипотезы”). При этом надо помнить, что ответ “да” или “нет” может быть дан лишь с определенной степенью достоверности, и чем дольше мы можем продолжать эксперимент, тем точнее могут быть выводы. Наиболее благоприятной для исследования оказывается ситуация, когда можно уверенно утверждать о некоторых свойствах наблюдаемого эксперимента – например, о наличии функциональной зависимости между наблюдаемыми величинами, о нормальности распределения, о его симметричности, о наличии у распределения плотности или о его дискретном характере, и т.д.

Математической статистикой называется раздел прикладной математики, изучающий методы сбора, обработки и анализа экспериментальных данных.

Предметом исследования в математической статистике является совокупность объектов, однородных относительно некоторых признаков.

Например, мальчики 10 лет г. Уссурийска; пловцы-мастера спорта России.

Совокупность из всех объектов, объединенных этими признаками, называется генеральной. Задачей исследования является изучение признаков генеральной совокупности, которые определяются влиянием некоторых случайных факторов.

Например, изучение физической подготовленности мальчиков 10 лет г. Уссурийска.

Для решения задач исследования проводится эксперимент (измерение, тестирование, анкетирование), в результате которого получают значение некоторой случайной величины (результаты тестирования, количество баллов). Если в эксперименте участвуют все объекты генеральной совокупности, то такое обследование называют сплошным.

На практике обычно применяют выборочный метод, который заключается в том, что из генеральной совокупности случайным образом извлекают n элементов. Эти элементы называются выборочной совокупностью или выборкой. Количество элементов в выборке называется ее объемом. Исследователь изучает и анализирует выборочную совокупность и на основании полученных показателей делает вывод о параметрах генеральной совокупности.

Допустим, из генеральной совокупности извлечена выборка объемом n, измерена некоторая величина Х, в результате чего получен ряд значений х₁, х₂,... х_n. Этот ряд называется простым статистическим рядом.

Пример: измерена масса тела 10 девочек 6 лет. Полученные данные образуют простой статистический ряд:

24 22 23 28 24 23 25 27 25 25

Отдельные значения статистического ряда называются вариантами. Если варианта х_iпоявилась m раз, то число m называют частотой, а ее отношение к объему выборки m/n – относительной частотой.

Последовательность вариант, записанная в возрастающем (убывающем) порядке, называется ранжированным рядом.

Пример: Ранжированный ряд:

22 23 23 24 24 25 25 25 27 28

Таблица, в первой строке которой записаны все значения величины (варианты), во второй –- соответствующие им частоты, называется безынтервальным вариационным рядом.

Пример: Безынтервальный вариационный ряд

 

Х	22	23	24	25	27	28
m	1	2	2	3	1	1

 

Графическим изображением безынтервального вариационного ряда является полигон.

Полигон вариационного ряда

 

Для его построения на оси ОХ откладывают значения вариант, на оси ОУ –- соответствующие им частоты. Точки с координатами (х_i; m_i) соединяют отрезками, полученная ломаная линия называется полигоном частот.

В том случае, если выборка представлена большим количеством различных значений непрерывной случайной величины, то группировку данных проводят в виде интервального вариационного ряда. Для этого диапазон варьирования признака разбивают на несколько (5-10) равных интервалов и указывают количество вариант, попавших в каждый интервал.