IV. Короткі теоретичні відомості

Всі реальні тверді тіла під дією зовнішніх сил змінюють свої лінійні розміри і об'єм. Такі зміни називають деформацією твердого тіла. Пружними називають деформації, що зникають в тілі після припинення дії зовнішніх сил, а пластичними - деформації, що зберігаються після припинення дії зовнішніх сил. Сили взаємодії між частинками твердого тіла, що виникають в результаті зміщення атомів з їх рівноважних положень і перешкоджають деформації тіла, називаються силами пружності.

Пружні деформації характеризуються напругою . Якщо на деяку поверхню діє зовнішня сила, перпендикулярна до площини поверхні s, то механічна напруга визначається формулою

(8.1)

де - сила пружності, перпендикулярна до цієї поверхні.

Для однозначного визначення напруги в твердому тілі на довільно орієнтованій поверхні , в довільній точці 0, необхідно задати напруги вздовж трьох взаємно перпендикулярних напрямках, що проходять через точку 0, і є перпендикулярні до відповідних координатних площин:

(8.2)

де проекції нормалі (до поверхні s) на осі декартової системи координат з центром в точці 0.

Деформації називаються малими або пружними, якщо для них справедливий закон Гука: механічна напруга , яка виникає в тілі при пружній деформації тіла, пропорційна відносній деформації тіла :

для одновісної деформації – , (8.4)

де - модуль пружності, котрий у випадку лінійного видовження

називається модулем Юнга.

Якщо цей закон не виконується, то деформація не є пружною, вона називаються пластичною – після припинення дії сили форма тіла не відновлюється.

У загальному випадку залежність механічної напруги s від деформації e зображується графіком, приведеним на рисунку 8.1.

Рис. 8.1

V. МЕТОДИКА ЕКСПЕРИМЕНТУ

Для визначення модуля Юнга із розтягу дротини використовується прилад Лермантова (рис. 8.2). Він складається з кронштейна 1, на якому закріплена досліджувана дротина 2. В одній площині з дротиною до кронштейна 1 причеплені ще дві вертикальні дротини 3, що закінчуються знизу перекладиною 4 з гачком. Коли дослід не проводиться, гачок тримає важки, якими користуються для навантаження досліджуваної дротини. Відразу ж після розвантаження дротини важки перекладають на гачок. Цим досягають сталого навантаження кронштейна 1, а отже і його сталого прогину і уникають похибки при вимірюванні видовження навантаженої дротини. Така похибка могла б виникнути внаслідок того, що до видовження дротини додавалася би деформація кронштейна.

Нехай дротина завдовжки і площею поперечного перерізу під дією сили видовжилася на , тоді із закону Гука (8.4) з врахуванням (8.1) можна одержати:

(8.5)

Коли видовження дорівнює початковій довжині , то , тобто модуль Юнга визначає собою силу, розраховану на одиницю площі, яка змінює довжину тіла вдвоє.

Тільки гуму можна розтягти у два рази, для інших же тіл, перш ніж їх довжина збільшиться вдвоє, буде перейдена межа міцності і тіло розірветься.

Для визначення видовження дротини служить нижній кронштейн 5 з пристроями. На циліндр 6 спирається колінчатий важіль 7, що може вільно повертатися навколо своєї осі 8. Над цією віссю важеля перпендикулярно до нього закріплене дзеркальце 9, яке освітлюється спеціальним освітлювачем 10. Відбиті від дзеркальця промені попадають на міліметрову шкалу 11.

При видовженні дротини на циліндр 6 опускається і дзеркальце повертається на кут , при цьому має місце співвідношення

(8.6)

де b - довжина важеля 7. Зміна положення дзеркальця приводить до переміщення світлового зайчика вздовж шкали. Якщо зайчик перемістився з поділки n ₁ на поділку n ₂ шкали при повороті дзеркальця на кут a, а відстань від дзеркальця до шкали, то можна написати

(8.7)

Оскільки величина мала, то кут a теж малий, тому можна замінити тангенси кутів значеннями самих кутів. Співставлення написаних вище формул дає

(8.8)

На нижньому кронштейні 5 є аретир, користуючись яким, шляхом повертання гвинта 13, можна здійснити розтягування дротини без ривків, або звільнити дротину від дії навантаження. Якщо дротина, діаметр якої d, будучи навантажена тягарем маси m, видовжилась на , тоді згідно (8.6) модуль Юнга

(8.9)

Ця формула є робочою.

Визначити модуль Юнга за розтягом (стиском) не завжди можливо і зручно, наприклад, коли досліджуємо товстий стержень. В цьому разі модуль Юнга можна визначити за деформацією прогину стержня.

В теорії про опір матеріалів [5] докладно розглядається деформація прогину і виводиться така формула для визначення модуля Юнга

(8.10)

стріла прогину (див. рис. 8.2), коефіцієнт, що залежить від способу закріплення стержня, прикладена сила (навантаження), довжина, a - ширина, c - товщина стержня. Коефіцієнт має різне значення залежно від способу закріплення стержня. У випадку, коли один кінець стержня закріплено нерухомо, .

Прилад для визначення модуля Юнга за прогином стержня (рис.8.2) складається з масивної станини, на якій одним кінцем закріплений нерухомо прямокутний стержень. Важки поміщаються на шальку, скріплену з обоймою, яка вільно пересувається вздовж стержня. Зверху на обойму спирається вимірний стержень мікрометра. Мікрометром визначають стрілу прогину досліджуваного стержня. Якщо обойма знаходиться на відстані від точки закріплення стержня, то модуль Юнга визначається за формулою: