Обтікання тіл. Підіймальна сила. Ефект Магнуса

IV. КОРОТКІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

При русі тіл у повітрі і у рідині на них діє сила опору. Складова сили опору вздовж напрямку потоку називається лобовим опором і задається формулою

(17.1)

де Y - безрозмірний коефіцієнт лобового опору, S - площа перерізу тіла, v - швидкість потоку, r - густина. При великих швидкостях F _опору~ v ² і Y від швидкості не залежить. При малих швидкостях сила опору, як і сила “рідкого” тертя, пропорційна швидкості (F _опору~ v), тоді Y= b / v (тут коефіцієнт пропорційності b має розмірність швидкості). При малих швидкостях потоку має місце ламінарна течія. При ламінарній течії вектор швидкості у довільній точці трубки не має складових у напрямку, перпендикулярному до осі трубки. Трубкою течії називається циліндрична поверхня, утворена лініями течії як твірними. Лінії течії - це траєкторії рухомих частинок рідини чи газу. Відомо, що для ламінарної течії коефіцієнт опору Y зв’язаний з числом Рейнольдса R _e співвідношенням:

, де , (17.2)

r - густина рідини або газу, r - радіус трубки, по якій тече рідина або газ, або певний розмір тіла, що оминається потоком, v - швидкість потоку, h - коефіцієнт в’язкості рідини чи газу. З формули (17.2) видно, що Y~1/ v.

При обертовому русі, як відомо, лінійним характеристикам руху (переміщенню, швидкості, прискоренню) зіставляють кутові характеристики, масі зіставляється момент інерції, силі - момент сили. Продовжуючи аналогії, можна вважати, що так як сила лобового опору при малих швидкостях пропорційна швидкості, то момент цієї сили пропорційний кутовій швидкості:

M _{лоб.опору}= C w. (17.3)

V. МЕТОДИКА ЕКСПЕРИМЕНТУ

Схема установки для дослідження лобового опору приведена на рис.17.1. На горизонтальній осі може обертатися стержень 1 з закріпленими на ньому пластинкою 2 і регулюючими циліндриками 3.

Рис.17. 1

За допомогою циліндриків 3 стержень врівноважується на осі. На тій же осі закріплено шків (диск) 4, на який намотана нитка, до вільного кінця якої підвішений важок 5. Падаючи, важок обертає шків і стержень з пластинкою. Крім диска 4, на осі закріплений також другий диск (на малюнку не показаний), радіус якого менший за радіус першого. Це дозволяє міняти швидкість обертання пластинки, користуючись лише одним важком.

Повертаючи стержень 1 навколо його повздовжньої осі, пластинка 2 може бути встановлена і закріплена так, що вектор лінійної швидкості її точок при русі пластинки під дією важка 5 буде нормальний або паралельний до площини пластини. В першому випадку лобовий опір буде великий, а в другому положенні він значно менший. Нехтуючи силами тертя у підшипниках, силами тертя важка і стержня об повітря, рівняння руху системи можна записати у вигляді:

(17.4)

де m - маса важка, J - момент інерції стержня з закріпленими на ньому циліндриками і пластинкою, F _н - сила натягу нитки, r - радіус диска 4, a - прискорення, з яким падає важок 5, g - прискорення сили тяжіння, - кутове прискорення, w - кутова швидкість, С - коефіцієнт моменту сили лобового опору пластинки.

З рівняння (17.4) для кутового прискорення одержуємо:

= e₀– B w, (17.5)

де

, . (17.6)

З рівняння (17.5) слідує, що прискорення (як кутове, так і важка 5) залежить від швидкості. Якщо поверхня пластинки паралельна площині обертання, то припускаючи С =0, із рівнянь (17.6) і (17.5) слідує, що обертання пластинки відбувається з постійним кутовим прискоренням

= e₀ = const. (17.7)

Знаючи віддаль h ₀, яку проходить важок 5 за час t ₀, можна вирахувати кутове прискорення

. (17.8)

У загальному випадку (тобто коли С ¹0) кутова швидкість системи з часом збільшується, наближаючись до деякої найбільшої, постійної в часі величини w_max. Величина цієї швидкості може бути одержана із умови, що при досягненні цієї швидкості кутове прискорення стане рівне нулю. Тоді з рівняння (17.5) маємо:

. (17.9)

Максимальна швидкість, з якою опускається важок 5, буде рівна

(17.10)

Рис. 17.2

Припустимо, що експериментально одержана залежність віддалі h, яку проходить важок, від часу t має вигляд, представлений на рис. 17.2. Тангенс кута нахилу h (t) лінійної ділянки кривої дає приблизне значення максимальної швидкості опускання важка

. (17.11)

Згідно графіка h ₂– h ₁= D h = h. Із рівняння (17.11) та (17.10) визначимо

. (17.12)

Коефіцієнт опору C тоді записується (див. 17.6)

. (17.13)

Використовуючи формулу (17.6) для e₀, формулу (17.13) перепишемо так:

. (17.14)

Формула (17.14) – кінцева робоча формула. Крім коефіцієнта моменту лобового опору С, в роботі обчислюється кутове прискорення e₀ для початкового руху пластини за формулою (17.8), максимальний момент сили лобового опору М _mах= С w_mах та момент інерції J за формулою:

. (17.15)

VI. ПОРЯДОК ВИКОНАННЯ РОБОТИ

1. Встановлюють пластинку 2 (див. рис.17.1) так, щоб її лобовий опір був максимальним. Перевіряють, чи зрівноважений стержень на осі обертання. Старанно, виток до витка, намотують нитку на диск малого радіуса r ₁. Нижня частина важка 5 повинна бути на одному рівні з нульовою поділкою шкали на штативі.

2. За допомогою секундоміра визначають час t опускання важка з висоти h. Для кожної висоти h вимірювання проводяться 5 разів.

3. Пластинку встановлюють так, щоб її лобовий опір був мінімальним. Аналогічно, як в п.2 вимірюють час t ₀, протягом якого важок проходить задані відстані h ₀ (для кожної висоти вимірювання повторюються 5 разів).

4. Всі вказані в п.2 і п.3 виміри повторюють, намотуючи нитку на диск великого радіуса r ₂.

5. Результати вимірювань за п.2-4 заносять у таблицю.

6. На міліметровому папері, в одному масштабі будують графіки кривих h = f (t), відкладаючи по осі абсцис час t, а по осі ординат - віддаль h (t - середній час проходження даної висоти). Графіки будують для випадку максимального лобового опору як при розкручуванні диска великого радіуса так і при опусканні важка з малого диска. На графіках проставляють довірчі інтервали D t (схема №1).

7. Обчислюють параметри рівнянь (17.4):

а) перевіряють наскільки мінімальний лобовий опір близький до нуля (тобто умову виконання формул (17.7) і (17.8)). Для цього будують графік залежності h ₀ від t ₀ – це має бути квадратична залежність, а також за тими ж даними будують графік в координатах від t ₀ – це має бути лінійна залежність. Графіки будують для обох дисків з відповідними похибками D h і D t визначення висоти і часу (“вусами”). Роблять висновки про можливість використання всіх або лише частини даних в подальших обчисленнях.

б) використовуючи значення h ₀ і середнє t ₀ (п’яти або більше вимірювань), за формулою (17.8) обчислюють для кожної висоти h _0i величину e₀ (кутове прискорення). Набір e₀₁, e₀₂,..., одержаних для різних висот h ₀₁, h ₀₂,..., використовують, як прямі вимірювання для знаходження кінцевого значення e₀ і його довірчого інтервалу De₀ за схемою №1 обробки результатів прямих вимірювань;

в) із графіка h = f (t) визначають v _max= tga (рис. 17.2 і формула 17.11); знаходять значення В.

8. За формулами (17.14) і (17.15) обчислюють C та J.

9. Знаходять максимальну кутову швидкість w_max (для обох радіусів шківів) та обчислюють момент сили лобового опору.

УВАГА. Величини , v _max, C, J, M _max вираховують для обох випадків, а саме: при опусканні важка з диска малого радіуса r ₁ і при опусканні важка з диска радіуса r ₂. Одержані моменти інерції J ₁ та J ₂ повинні бути (у межах похибки) рівними.

10. Результати обчислень заносять у раціонально вибрану таблицю.

11. Оцінюють похибки. (Як оцінити похибку e₀ сказано в п.7).

Для того, щоб знайти похибку у визначенні C, перепишемо його вираз (17.14) так:

, (17.16)

де h, t ₂- t ₁ - це катети трикутника (рис.17.2). Довірчий інтервал D С знаходиться через довірчі інтервали величин r, t, h, одержаних за допомогою прямих вимірювань:

. (17.17)

Довірчі інтервали: D h =D h _сист=t_¥_ad/3 – визначається точністю d шкали лінійки, m - аналогічно визначається точністю визначення маси важка, , , де D r _сист і D t _сист – визначаються відповідно точністю штангенциркуля і секундоміра, t _n_a – коефіцієнт Стьюдента.