Основное уравнение молекулярно-кинетической теории (вывод). Число степеней свободы молекулы. Закон распределения энергии по степеням свободы. Внутренняя энергия идеального газа

Вывод основного уравнения молекулярно-кинетической теории. Вычислим давление газа на стенку сосуда площадью S, перпендикулярную координатной оси X (рис.2). Каждая молекула массой , подлетая к стенке сосуда со скоростью , проекция которой на ось X равна имеет проекцию импульса на ось Х . Упруго отскакивая от стенки со скоростью , проекция которой на ось Х равна , молекула получает импульс, проекция которого на ось Х равна . Поэтому в результате столкновения со стенкой проекция импульса молекулы на ось Х изменяется от до .

Изменение импульса молекулы показывает, что на нее при столкновении со стенкой действует сила

, направленная от стенки. Изменение импульса молекулы равно импульсу силы

. С учетом того, что столкновение молекулы со стенкой является упругим, то есть

, имеем:

. Во время столкновения молекула действует на стенку с силой

, равной по третьему закону Ньютона силе по модулю и противоположно направленной.

Молекул газа очень много и удары их о стенку следует одни за другими с очень большой частотой. Среднее значение геометрической суммы сил, действующих со стороны отдельных молекул при их столкновении со стенкой сосуда, и является силой давления газа. Давление газа равно отношению модуля средней силы давления к площади стенки S:

Как мы уже выяснили, каждая молекула за время столкновения передает стенке импульс . Так как молекул много, за секунду они передадут стенке импульс , где Z - число столкновений всех молекул со стенкой за секунду. Число Z, очевидно, прямо пропорционально концентрации молекул , проекции скорости молекул на ось Х и площади стенки сосуда S, то есть . Надо еще учесть, что в среднем только половина всех молекул движется к стенке, другая половина движется в обратную сторону. Поэтому и полный импульс, переданный стенке за 1с, равен:

Согласно второму закону Ньютона изменение импульса любого тела за единицу времени равно действующей на него силе, следовательно

Учтем, что не все молекулы имеют одну и ту же проекцию скорости на ось X. В действительности средняя за секунду сила, действующая на стенку, пропорциональна не , а среднему квадрату проекции скорости на ось X: . Так как в состоянии теплового равновесия

то

Таким образом, давление газа на стенку сосуда равно

(3)

Это и есть основное уравнение молекулярно-кинетической теории.

Формула (3) связывает макроскопическую величину - давление, которое может быть измерено манометром, - с микроскопическими величинами, характеризующими молекулы, и является как бы мостом между двумя мирами: макроскопическим и микроскопическим.

Если через обозначить среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекулы