2018-02-13
918
Цель работы: научиться выполнять операции над множествами, определять свойства бинарных отношений, отображений и функций.
Ход выполнения работы:
1. Изучить теоретический материал.
2. Получить задание у преподавателя.
3. Выполнить задание.
4. Ответить на контрольные вопросы.
5. Защитить выполненное задание.
Краткие теоретические сведения
Множество– совокупность определенных объектов, рассматриваемых как единое целое и хорошо различаемых между собой.
Пустое множество – множество, не содержащее элементов.
Над множествами можно выполнять следующие операции
Объединение множеств 
Пересечение множеств 
Разность множеств 
Симметрическая разность множеств 
Бинарное отношение r из множества X в множество 
– подмножество декартового произведения 
.
Если 
, то r – отношение на множестве X.
Для отношения r, заданного на множестве X можно построить обратное отношение
Композиция отношений 
, где 
и 
– отношение 
, для которого
|
|
|
Отношение r, заданное на множестве X, может обладать следующими свойствами:
1) рефлексивность – для каждого элемента x множества X выполняется условие 
2) антирефлексивность – для каждого элемента x множества X выполняется условие 
3) симметричность – для всех элементов x и y множества X таких, что 
, выполняется условие 
4) антисимметричность – для всех элементов x и y множества X таких, что , выполняется условие 
5) транзитивность – для всех элементов x, y и z множества X таких, что и 
, выполняется условие 
Соответствие, характеризующее правило, по которому каждому элементу множества X сопоставляется один или несколько элементов множества Y, представляет собой отображение.
Функция (однозначное отображение) – отображение f такое, что:
Отображение сюръективно(или отображение «на»), если образы точек множества X заполняют все множество Y, причем различные точки множества X могут иметь один и тот же образ.
Отображение инъективно(или отображение «в»), если элементы множества X отображаются не на все множество Y, а в его какую-то часть.
Биективноеотображение является одновременно инъективным и сюръективным (взаимно однозначным).
Образец выполнения
1. Дано множество U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
Множества
A = {1, 3, 5, 7, 9}, B = {2, 3, 5, 6, 8}, C = {4, 7, 10}, D = {4, 6, 8, 9, 10}
являются подмножествами множества U. Найти элементы множества:
Решение
Найдем элементы множества A\B = {1, 7, 9}. Найдём элементы множества C\D = {7}. Найдём элементы множества 
.
|
|
|
2. На множестве М = {1, 2, 3, 4} задано бинарное отношение r. Выяснить, является ли оно рефлексивным, симметричным, антисимметричным, транзитивным. Найти область определения и область значений отношения r, обратное отношение r–1, композиции отношений 
и 
.
r = {á1, 1ñ, á1, 4ñ, á2, 3ñ, á3, 2ñ, á4, 1ñ, á4, 2ñ, á4, 3ñ}
Решение
Отношение не является рефлексивным, так как в нём отсутствуют пары á2, 2ñ, á3, 3ñ, á4, 4ñ.
Отношение не является симметричным, так как в нём отсутствует пара á2, 4ñ, но есть пара á4, 2ñ
Отношение не является антисимметричным, так как в нём присутствуют одновременно пары á1, 4ñ и á4, 1ñ.
Отношение не является транзитивным, так как в нём присутствуют пары á2, 3ñ и á3, 2ñ, но отсутствует пара á2, 2ñ.
Область определения отношения r имеет вид D(r) = {1, 2, 3, 4}
Область значений отношения r имеет вид Im(r) = {1, 2, 3, 4}
Построим обратное отношение
r–1 = {á1, 1ñ, á4, 1ñ, á3, 2ñ, á2, 3ñ, á1, 4ñ, á2, 4ñ, á3, 4ñ}
Построим композиции отношений
= {á1, 1ñ, á1, 4ñ, á2, 2ñ, á2, 4ñ, á3, 3ñ, á3, 4ñ, á4, 1ñ, á4, 3ñ, á4, 4ñ }
={á1, 1ñ, á1, 2ñ, á1, 3ñ, á1, 4ñ, á2, 1ñ, á2, 2ñ, á2, 3ñ, á3, 1ñ, á3, 2ñ, á3, 3ñ, á3, 4ñ, á4, 1ñ, á4, 4ñ}
3. Между множествами X = {1, 2, 3, 4, 5} и Y = {6, 7, 8, 9, 10} установлено соответствие j. Выяснить, является ли соответствие j отображением или функцией. Если является, то какими свойствами оно обладает (сюръективность, инъективность, биективность).
j = {á1, 6ñ, á1, 7ñ, á2, 8ñ, á3, 8ñ, á4, 6ñ}
Решение
Так как при соответствии j элементу 5 множества X не ставится в соответствие ни один из элементов множества Y, то соответствие j не является отображением, а, следовательно, не является функцией.
Задания.
1. Дано множество U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
Множества
A = {1, 3, 5, 7, 9}, B = {2, 3, 5, 6, 8}, C = {4, 7, 10}, D = {4, 6, 8, 9, 10}
являются подмножествами множества U. Найти элементы множества:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
2. На множестве М = {1, 2, 3, 4} задано бинарное отношение r. Выяснить, является ли оно рефлексивным, симметричным, антисимметричным, транзитивным. Найти область определения и область значений отношения r, обратное отношение r–1, композиции отношений и .
1) r = {á1, 1ñ, á1, 2ñ, á1, 4ñ, á2, 2ñ, á2, 3ñ, á3, 2ñ, á3, 3ñ}
2) r = {á1, 1ñ, á2, 1ñ, á2, 2ñ, á3, 3ñ, á4, 1ñ, á4, 2ñ, á4, 4ñ}
3) r = {á1, 1ñ, á1, 2ñ, á3, 1ñ, á3, 2ñ, á3, 3ñ, á4, 3ñ, á4, 4ñ}
4) r = {á1, 1ñ, á1, 2ñ, á2, 2ñ, á2, 3ñ, á3, 3ñ, á4, 1ñ, á4, 2ñ}
5) r = {á1, 2ñ, á1, 3ñ, á2, 2ñ, á2, 3ñ, á3, 3ñ, á4, 3ñ, á4, 4ñ}
6) r = {á1, 4ñ, á2, 3ñ, á3, 2ñ, á3, 4ñ, á4, 2ñ, á4, 3ñ, á4, 4ñ}
7) r = {á2, 1ñ, á3, 1ñ, á3, 2ñ, á3, 3ñ, á4, 1ñ, á4, 2ñ, á4, 3ñ}
8) r = {á1, 2ñ, á2, 4ñ, á3, 2ñ, á3, 3ñ, á3, 4ñ, á4, 1ñ, á4, 2ñ}
9) r = {á1, 1ñ, á2, 2ñ, á3, 1ñ, á3, 2ñ, á3, 3ñ, á4, 2ñ, á4, 3ñ}
3. Между множествами X = {1, 2, 3, 4, 5} и Y = {6, 7, 8, 9, 10} установлено соответствие j. Выяснить, является ли соответствие j отображением или функцией. Если является, то какими свойствами оно обладает (сюръективность, инъективность, биективность).
1) j = {á1, 7ñ, á1, 8ñ, á2, 6ñ, á3, 7ñ, á4, 8ñ}
2) j = {á1, 6ñ, á2, 7ñ, á3, 7ñ, á3, 8ñ, á4, 6ñ}
3) j = {á1, 6ñ, á2, 6ñ, á3, 7ñ, á4, 8ñ, á5, 9ñ}
4) j = {á1, 7ñ, á2, 8ñ, á2, 9ñ, á3, 9ñ, á4, 10ñ}
|
|
|
5) j = {á2, 6ñ, á3, 8ñ, á3, 9ñ, á4, 9ñ, á5, 7ñ}
6) j = {á1, 6ñ, á2, 4ñ, á2, 3ñ, á3, 2ñ, á4, 1ñ}
7) j = {á1, 7ñ, á2, 8ñ, á3, 6ñ, á4, 9ñ, á5, 10ñ}
8) j = {á1, 8ñ, á2, 7ñ, á2, 9ñ, á3, 8ñ, á4, 9ñ}
9) j = {á1, 9ñ, á2, 6ñ, á3, 9ñ, á4, 10ñ, á5, 7ñ}
Контрольные вопросы
1. Что такое множество.
2. Перечислить и охарактеризовать операции над множествами
3. Что такое бинарное отношение на множестве.
4. Перечислить и охарактеризовать основные свойства бинарных отношений.
5. Как построить обратное отношение и композицию бинарных отношений.
6. Что такое соответствие между множествами.
7. Что такое функция
8. Перечислить и охарактеризовать основные свойства функций и соответствий.
