Практическая работа № 6

3 4 5 6 7 8 9

«ПРИЛОЖЕНИЕ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ К АНАЛИЗУ И СИНТЕЗУ РЕЛЕЙНО-КОНТАКТНЫХ СХЕМ»

Цель работы: научиться применять булевы функции для решения задач анализа и синтеза релейно-контактных схем.

Ход выполнения работы:

1. Изучить теоретический материал.

2. Получить задание у преподавателя.

3. Выполнить задание.

4. Ответить на контрольные вопросы.

5. Защитить выполненное задание.

Краткие теоретические сведения

Релейно-контактная схема представляет собой устройство из проводников и двухпозиционных контактов. Оно может быть предназначено, например, для соединения (или разъединения) полюсов источника тока с некоторым потребителем.

Контакты релейно-контактной схемы могут быть двух типов: замыкающие и размыкающие. Каждый контакт подключен к некоторому реле (переключателю). К одному реле может быть подключено несколько контактов – как замыкающих, так и размыкающих.

Технически реле представляет собой катушку с металлическим сердечником (магнитопроводом), вблизи которого находится соответствующий контакт.

Когда через катушку пропускается электрический ток, металлический сердечник намагничивается и замыкает все находящиеся при нем замыкающие контакты. Одновременно все размыкающие контакты, относящиеся к данному реле, размыкаются. При обесточивании обмоток реле (когда реле отключается) все замыкающие контакты снова размыкаются, а все размыкающие, замыкаются.

Каждому реле ставится в соответствие своя булева переменная , которая принимает значение 1, когда реле срабатывает, и принимает значение 0 при отключении реле.

На чертеже все замыкающие контакты, подключенные к реле х, обозначаются тем же символом х, а все размыкающие контакты, подключенные к этому реле, обозначаются отрицанием х '.

Это означает, что при срабатывании реле x все его замыкающие контакты х проводят ток и им сопоставляется значение 1, а все размыкающие контакты х ' не проводят электрический ток и им сопоставляется значение 0.

При отключенном реле х создается противоположная ситуация: все его замыкающие контакты х разомкнуты и в этот момент им сопоставляется (переменная х принимает) значение 0, а все его размыкающие контакты х ' замкнуты, и в этот момент им сопоставляется (переменная х ' принимает) значение 1.

Всей релейно-контактной схеме тогда ставится в соответствие булева переменная у, зависящая от булевых переменных , сопоставленным тем реле, которые участвуют в схеме.

Если при данном наборе состояний реле (некоторые из этих реле находятся в рабочем состоянии под током, остальные отключены, т.е. «обесточены») вся релейно-контактная схема проводит электрический ток, то переменной у ставится в соответствие (переменная у принимает) значение 1.

Если же при этом наборе состояний реле схема не проводит электрический ток, то считаем, что переменная у принимает значение 0.

Поскольку каждый набор состояний реле характеризуется набором, составленным из нулей и единиц и имеющим длину n, то данная релейно-контактная схема определяет некоторое правило, по которому каждому такому набору длины n, составленному из нулей и единиц, сопоставляется либо 0, либо 1.

Таким образом, каждая релейно-контактная схема, в которой занято n независимых реле (контактов в ней может быть n или больше), определяет некоторую булеву функцию у от n аргументов.

Она принимает значение 1 на тех и только тех наборах значений аргументов , которые соответствуют тем состояниям реле , при которых данная схема проводит электрический ток.

Такая булева функция является функцией проводимости данной релейно-контактной схемы.

Таким образом, теория булевых функций предоставляет математические модели реальных физических релейно-контактных схем.

Рассмотрим некоторые релейно-контактные схемы и найдем их функции проводимости. Первая схема состоит из двух последовательно соединенных контактов х и у – контактов, связанных с двумя независимыми реле х и у, каждое из которых срабатывает независимо от другого:

Рис. 1 Последовательная релейно-контактная схема

Очевидно, что данная схема проводит электрический ток тогда и только тогда, когда оба контакта х и у замкнуты (только тогда, когда обе переменных х и у принимают значение 1).

Булева функция от двух аргументов x и y, удовлетворяющая такому условию, известна. Это конъюнкция х • у.

Таким образом, функцией проводимости релейно-контактной схемы, состоящей из двух последовательно соединенных контактов х и у, является конъюнкция.

Последовательное соединение двух контактов реализует конъюнкцию соответствующих этим контактам булевых переменных.

Вторая релейно-контактная схема состоит из двух параллельно соединенных контактов х и у:

Рис. 2 Параллельная релейно-контактная схема

Очевидно, что эта схема проводит электрический ток в том и только в том случае, когда по меньшей мере один из контактов (х или у) замкнут (лишь в случае, когда хотя бы одна из булевых переменных (х или у) принимает значение 1. Булева функция от двух аргументов х и у, удовлетворяющая этому условию, также известна. Это дизъюнкция .

Таким образом, функцией проводимости релейно-контактной схемы, состоящей из двух параллельно соединенных контактов х и у, является дизъюнкция.

Параллельное соединение двух контактов реализует дизъюнкцию соответствующих этим контактам булевых переменных.

Итак, с помощью релейно-контактных схем можно реализовать булевы функции: конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание.

Возникает вопрос: возможна ли аналогичная реализация и других булевых функций. Ответ на поставленный вопрос позволяет дать теорема 12.

Поскольку всякая булева функция на основании этой теоремы может быть выражена через конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание, причем отрицание стоит лишь непосредственно около переменных и не стоит ни около каких внутренних скобок, а конъюнкция, дизъюнкция и отрицание, как показано только что, реализуются на релейно-контактных схемах, то и всякая булева функция может быть реализована с помощью релейно-контактной схемы и может быть построена такая схема, для которой данная булева функция служит функцией проводимости.

Реализуем, например, в виде релейно-контактных схем булевы функции – импликацию и эквиваленцию. Для этого выразим их через конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание, используя формулы из теоремы 10. Тогда соответствующие схемы будут иметь вид:


Импликация	Эквиваленция

Рис. 3 Релейно-контактные схемы булевых функций

Составление релейно-контактных схем с заданными условиями работы представляет собой задачу синтеза релейно-контактных схем и является первой важной задачей, состоящей в том, что требуется построить схему, которая проводила бы электрический ток лишь при вполне определенных задаваемых условиях.

Естественно было бы выбирать для каждой булевой функции самую простую или одну из самых простых реализующих ее релейно-контактных схем. Поэтому упрощение релейно-контактных схем представляет собой задачу анализа таких схем и является второй важной задачей теории релейно-контактных схем.

Две релейно-контактные схемы, составленные из одних и тех же реле, равносильны, если одна из них проводит ток тогда и только тогда, когда другая схема проводит ток.

Другими словами, две схемы, составленные из одних и тех же реле, равносильны, если они обладают одинаковыми функциями проводимости, зависящими от одних и тех же переменных.

Из двух равносильных схем более простой считается та, которая содержит меньшее число контактов.

Задача упрощения релейно-контактной схемы состоит в нахождении более простой равносильной ей схемы.

Обычно она решается следующим образом:

1) для данной релейно-контактной схемы записывается ее функция проводимости.

2) затем эта функция с помощью тождественных преобразований, использующих известные свойства булевых функций, упрощается и сводится к функции, имеющей меньшее число вхождений переменных, чем исходная функция.

3) строится релейно-контактная схема, отвечающая упрощенной булевой функции.

Образец выполнения

1. Построить релейно-контактную схему с заданной функцией проводимости.

Решение.

Данная схема будет представлять собой последовательное соединение двух параллельных соединений. Первое параллельное соединение состоит из трёх участков: последовательное соединение контактов x и y, контакт и контакт . Второе параллельное соединение состоит из двух участков: контакт и контакт z.