Основной закон динамики вращательного движения

Пусть механическая система, состоящая из N материальных точек под действием внешних сил, результирующая которых , совершает криволинейное движение относительно неподвижной точки О, то есть

(6.5)

где  - радиус-вектор, проведенный от точки О до i -ой материальной точки,  - вектор силы, действующей на i -ую материальную точку.

Также можно найти момент импульса системы

(6.6)

где  - момент импульса i -ой материальной точки.

 

Момент импульса  зависит от времени t, так как скорость является функцией от времени. Взяв производную от момента импульса системы по времени t, получим

                                  (6.7)

Формула (6.7) является математическим выражением основного закона динамики вращательного движения системы, согласно которому скорость изменения момента импульса системы по времени равна результирующему моменту внешних сил, действующих на систему.

Закон (6.7) справедлив и для твердого тела, т.к. твердое тело можно рассматривать как совокупность материальных точек.

 Пусть в частном случае твердое тело вращается относительно неподвижной оси, проходящей через центр масс, под действием внешней силы . Твердое тело разбиваем на материальные точки. Для материальной точки массой m _i уравнение движения запишется

                                  (6.8)

Момент импульса  для i – ой материальной точки равен

=                             (6.9)

Поскольку при вращательном движении b = 90⁰, то и линейная скорость  связана с угловой скоростью формулой  Тогда (6.9) можно записать в виде

                                          (6.10)

Величина  представляет собой момент инерции материальной точки относительно оси Z. Тогда (6.10) примет вид

                                 (6.11)

С учетом (6.11) основной закон динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси запишется

                     (6.12)

где - момент инерции твердого тела относительно оси Z.

При                                  (6.13)

где  - угловое ускорение. Согласно основному уравнению динамики вращательного движения (6.12) результирующий момент внешней силы, действующей на тело, равен произведению момента инерции J тела на его угловое ускорение.

Из уравнения (6.12) следует, что при J = const угловое ускорение тела прямо пропорционально моменту внешних сил относительно оси вращения, т.е.

                                         (6.13)

При M = const угловое ускорение обратно пропорционально моменту инерции тела, т.е.

                                            (6.14)

Целью настоящей работы является проверка соотношений (6.13) и (6.14), а, следовательно, и основного уравнения динамики вращательного движения (6.12), следствиями которого они являются.