Глава 2. Решение задач менеджмента горного производства методами линейного программирования в Excel

 

В настоящее время накоплен значительный опыт применения моделей линейного программирования в горном производстве. К числу решаемых с его помощью задач можно отнести планирование распределения добычи по отдельным участкам горного предприятия, распределение капиталовложений между различными действующими или проектируемыми предприятиями, составление оптимального плана перевозок, определение оптимальной загрузки оборудования и транспорта и т.д.

Во многих случаях решения, полученные с помощью линейного программирования, дают ощутимый экономический эффект.

Рассмотрим решения нескольких типовых задач оптимизации горного производства методами линейного про­граммирования и проанализируем их.

 

Планирование добычи руды заданного состава

Требуется составить план эксплуатации карьера при условии, что суммарные затраты на транспортирование руды в рассматриваемом периоде времени не должны превышать 8690 руб., а содержание Р₂О₅ должно быть в пределах 6,8 - 7,0 %. План должен обеспечивать максимально возможную добычу руды. Данные по участкам карьера приведены в табл. 2.1.

Таблица 2.1

№ участка	Содержание Р2О5, %	Удельные транспортные затраты, pуб.	Максимально возможная добыча, тыс.т.
1	6,0	25	160
2	8,0	20	160
3	6,8	15	320

 

Обозначим через x_i искомый объем добычи на i-м участке, тыс. т. Запишем математическую модель задачи. Целевая функция — суммарный объем добычи руды.

Ограничения:

а) по величине затрат на транспорт

;

б) по качеству руды

;

в) по максимально допустимой добыче участков

;

г) по неотрицательности объемов добычи

.

После очевидных преобразований ограничение «б» запишем в виде двух неравенств:

;

.

    Теперь можно приступать к решению задачи на компьютере.

1. Создадим новую рабочую книгу (Office→Создать→Новая книга).

2. На листе 1 в ячейки F3:F5 занесем правые части неравенств -  числа 8690, 0 и 0соответственно.

3. В ячейки A2:C2 занесем начальные значения неизвестных ,   и  (нули) — в дальнейшем значения этих ячеек будут подобраны автоматически.

4. В ячейках диапазона A3: C5 разместим коэффициенты при неизвестных из левых частей ограничений.

5. В ячейках D3:D5 укажем формулы для расчета левых частей неравенств. В ячейке D3 формула будет иметь вид =СУММПРОИЗВ($A$2:$C$2;A3:C3), а остальные формулы можно получить методом автозаполнения. В ячейку Е4 занесем формулу для расчета первого (левого) ограничения по качеству руды. В ячейку Е5 - формулу для расчета второго (правого) ограничения.

6. В ячейки А6:С6 занесем ограничения по максимально допустимой добыче участков.

7. В ячейку F2 занесем формулу целевой функции =СУММ(A2:C2).Резуль­тат ввода данных в рабочую таблицу представлен на рис. 2.1.

 

Рис.2.1. Результат ввода данных

 

8. Дадим команду Данные→Поиск решения — откроется диалоговое окно Поиск решения.

9. В поле Установить целевую ячейку мышью укажем ячейку, содержащую оптимизируемое значение (F2) (рис. 2.2). Установим переключатель Равной в положение максимальному значению (требуется максимальный объем добычи руды).

Рис.2.2. Заполнение диалогового окна Поиск решения

 

10. В поле Изменяя ячейки мышью зададим диапазон подбираемых параметров (не­известных ) — A2:C2.

11. Чтобы определить набор ограничений, щелкнем на кнопке Добавить. В диа­логовом окне Добавление ограничения в поле Ссылка на ячейку мышью ука­жем диапазон А2:С2. В качестве условия зададим <=. В поле Ограничение мышью зададим диапазон А6:С6 (рис. 2.3). Щелкнем на кнопке ОК.

 

Рис.2.3. Заполнение диалогового окна Добавление ограничения

 

12. Снова щелкнем на кнопке Добавить. В поле Ссылка на ячейку укажем диапазон A2:C2. В качестве условия зададим >=. В поле Ограничение зададим число 0. Это условие указывает, что объём добычи неотрицателен. Щелкнем на кнопке ОК. Аналогично укажем ограничения по величине затрат на транспорт и по качеству руды.

13. Щелкнем на кнопке Выполнить. По завершении оптимизации откроется диа­логовое окно Результаты поиска решения.

14. Установим переключатель Значения параметров в положение Сохранить найден­ное решение, после чего щелкнем на кнопке ОК.

Таким образом, оптимальный план эксплуатации карьера по участкам на рассматриваемый период предусматривает следующие объемы добычи, тыс.т.:

.

Это обеспечит максимально возможную в данных условиях суммарную добычу в объеме V_max=500 тыс.т. (рис. 2.4).

Рис.2.4. Результат вычислений задачи «Планирование добычи руды заданного состава»

 

Проанализируем полученное решение. Значение переменной  показывает, что на участке № 3 следует запланировать максимально возможную добычу, в то время как на первых двух участках максимальная нагрузка не пла­нируется.

Значение в ячейке D3=8690 показывает, что затраты на транспорт достигают предусмотренной условиями задачи величины 8690 руб., что, естественно, связано с максимизацией добычи. Так как Е5=0, второе (правое) ограничение по качеству выполняется как равенство. Это значит, что среднее содержание Р₂О₅ составит 7 %.

Таким образом, дальнейшее увеличение добычи по карьеру сдерживается следующими «узкими местами»:

максимально возможной добычей на участке № 3;

максимально допустимыми затратами на транспорт;

необходимостью поддерживать содержание Р₂О₅ на уровне, не превышающем 7 %.

Решение задачи методом линейного программирования позволило не только найти оптимальный план, но и выявить «узкие места», сдерживающие дальнейший рост величины добычи.

 

Составление парка буровых станков

Планом работ экспедиции предусматривается пробурить 300 скважин с объемом перевозок 10 км и 100 скважин с объемом перевозок 50 км. Для бурения таких скважин могут быть использованы стационарный буровой станок ЗИФ-650М и самоходные установки УКБ-300/200 и УРБ-ЗАМ. Нормативная производительность этих стан­ков и стоимость бурения одной скважины в соответствующих условиях приведены в табл. 2.2.

Таблица 2.2

Вид станка	Производительность станка (скважин в год) при протяженности (км) перевозок		Стоимость бурения (руб.) одной скважины при протяженности (км) перевозок
	10	50	10	50
ЗИФ-650М	26	24	900	980
УКБ-300/200	20	20	768	800
УРБ-ЗАМ	25	24	881	900

Зная, что число станков не может быть больше 20, определить структуру парка станков экспедиции таким образом, чтобы выполнить план работ с наименьшим расходом.

Обозначим   - число станков i -го вида, используемых при бурении k -го вида скважин (). Составим математическую модель задачи.

Целевая функция — стоимость бурения всех скважин.

Ограничения:

а) по общему количеству станков

;

б) по количеству скважин каждого вида

;

;

в) по неотрицательности искомых величин

.

    Теперь можно приступать к решению задачи на компьютере.

1. Создадим новый рабочий лист (Shift+F11).

2. На листе в ячейки H3:H5 занесем правые части ограничений -  числа 20, 300 и 100соответственно.

3. В ячейки A2:F2 занесем начальные значения неизвестных - (нули).

4. В ячейках диапазона A3: F5 разместим коэффициенты при неизвестных из левых частей ограничений.

 

Рис.2.5. Результат ввода данных

 

5. В ячейках G3:G5 укажем формулы для расчета левых частей неравенств. В ячейке G3 формула будет иметь вид =СУММПРОИЗВ($A$2:$F$2;A3:F3), а остальные формулы получим методом автозаполнения.

6. В ячейки A6:F6 занесем значения производительности станков. В ячейки A7:F7 - значения стоимости бурения.

7. В ячейку F2 занесем формулу целевой функции =СУММПРОИЗВ(A2:F2;A6:F6;A7:F7).Резуль­тат ввода данных в рабочую таблицу представлен на рис. 2.5.

8. Дадим команду Данные→Поиск решения — откроется диалоговое окно Поиск решения.

9. В поле Установить целевую ячейку мышью укажем ячейку, содержащую оптимизируемое значение (I2) (рис. 2.6). Установим переключатель Равной в положение минимальному значению (требуется минимальная стоимость бурения).

 

Рис.2.6. Заполнение диалогового окна Поиск решения

 

10.  В поле Изменяя ячейки мышью зададим диапазон подбираемых параметров (неизвестных ) — A2:F2.

11. Для ввода ограничений щелкнем по кнопке Добавить, и выполним действия так же, как в первой задаче. Так как число станков не может быть дробным, введем требование их целочисленности. Для этого в окне Добавление ограничения укажем диапазон A2:F2, и выберем пункт цел (рис. 2.7). После ввода всех ограничений нажимаем Выполнить.

 

Рис.2.7. Указание целочисленности искомых величин

 

Полученное решение (рис. 2.8) показывает, что парк буровых станков экспедиции должен составить 20 самоходных установок УКБ-300/200, из которых 15 должны использоваться для бурения скважин с объемом перевозок 10 км, а остальные — для скважин с объемом перевозок 50 км. Это позволит обеспечить минимальную стоимость бурения всех скважин, равную 310 400 руб.

 

Рис.2.8. Результат вычислений задачи «Составление парка буровых станков»

 

Оптимальный план не предусматривает использования буровых станков двух других типов, поскольку это увеличивает стоимость бурения. Если использование каких-то станков в реальных условиях является обязательным, то это можно учесть в результате включения в исходную модель дополнительных ограничений снизу на количество станков определенного вида. Пусть, например, количество стационарных буровых станков ЗИФ-650М не может быть меньше 3. Тогда в исходную модель следует добавить огра­ничение

и решить задачу заново.

 

Рис.2.9. Результат вычислений задачи «Составление парка буровых станков» с дополнительным ограничением

 

    Решение задачи с новыми условиями (рис. 2.9) предусматривает использование станков всех типов. При этом минимальная стоимость работ увеличивается на 7,3%.

Это лишний раз показывает, что к разработке математической модели любой задачи следует подходить с особой тщательностью. Если какие-то существенные ограничения не включены в модель, то полученное решение может им не удовлетворять, что потребует пересмотра исходной модели на этапе анализа полученного решения.

 

 

Планирование нагрузок на лавы угольной шахты

По каждой из четырех лав угольной шахты известны: среднемесячная себестоимость 1 т угля, минимально и максимально возможные нагрузки, а также зольность угля и содержание в нем серы (табл. 2.3).

Таблица 2.3

№ лавы	Месячная нагрузка, тыс. т		Себестоимость 1 т угля, руб.	Зольность угля, %	Содержание серы, %
	минимальная	максимальная
1	6	8	4	13	3
2	8	16	3	18	4
3	10	18	2,5	16	5
4	12	20	2	23	2

 

Планирование максимальных нагрузок на все лавы одновременно недопустимо из-за недостаточной пропускной способности подземного транспорта и подъемного оборудования. С учетом этого месячная добыча шахты должна составлять 50 000 т. Кроме того, средняя зольность угля и содержание серы в нем в целом по шахте не должны превышать соответственно 20% и 4 %. Требуется таким образом распределить месячные нагрузки на лавы, чтобы в данных условиях себестоимость 1 т угля по шахте была минимальной.

Обозначим через   искомую величину нагрузки в тыс. т на i -ю лаву, где . Составим математическую модель задачи.

Целевая функция — себестоимость 1 т угля по шахте

.

Ограничения:

а) по месячной добыче шахты

;

б) по зольности угля

;

в) по содержанию серы в угле

;

г) по допустимым нагрузкам на лавы

.

Отметим, что условия неотрицательности искомых величин автоматически вытекают из последней группы ограничений и поэтому не включены в модель отдельно.

Заполнение таблицы в Excel выполняем по вышеуказанному алгоритму:

1. В ячейках А3:D3 указываем начальные значения величин ;

2. В ячейки А3:D5 вводим коэффициенты ограничений по месячной добыче, по зольности и по содержанию серы;

3. В ячейки А6:D6 вводим величины минимальных нагрузок;

4. В ячейки А7:D7 - величины максимальных нагрузок;

5. В ячейках А8:D8 указываем себестоимость тонны угля для каждой лавы;

6. В ячейки Е3:Е5 вводим формулы для расчета левых частей неравенств: =СУММПРОИЗВ($A$2:$D$2;A3:D3);

 =СУММПРОИЗВ($A$2:$D$2;A4:D4);

 =СУММПРОИЗВ($A$2:$D$2;A5:D5);

7. В ячейку G2 записываем целевую функцию

 =СУММПРОИЗВ(A2:D2;A8:D8)/50 (рис.2.10).

 

Рис.2.10. Результат ввода данных

 

Система ограничений не имеет каких-либо особенностей и записывается обычным образом (рис 2.11).

 

Рис.2.11. Заполнение диалогового окна Поиск решения

 

Решение задачи, полученное с помощью Excel (рис.2.12), устанавливает оптимальный план работ при заданных условиях. Нагрузка на первые две лавы должна быть минимальной и составлять 6 и 8 тыс. т. соответственно, на лаву № 4 она должна быть максимальной и составлять 20.тыс. т, и на лаву № 3 она должна составлять промежуточную величину 16 тыс. т. Такой план позволяет достичь минимальной себестоимости 1 т угля по шахте 2,56 руб. При этом достигнуты следующие показатели: по месячной добыче шахты 50 тыс.т., по зольности угля , по содержанию серы

 

Рис. 2.12. Решение задачи планирования нагрузок

 

Это означает, что выполняются все предусмотренные заданием ограничения по шахте: при 100 %-ном выполнении плана по добыче зольность угля и содержание серы в нем будут ниже предельно допустимых соответственно на 1,24 и 0,6 %. Что касается самих нагрузок на лавы, то они лежат в допустимых пределах.

Сравнение получаемых путем таких расчетов показателей с запланированными показателями конкретных шахт показывает, что в некоторых случаях можно достичь снижения себестоимости на несколько процентов.

Анализ полученного решения показывает, что снижение себестоимости угля достигается за счет более интенсивных нагрузок на лавы с низкой себестоимостью. Однако необходимость полной отработки шахтного поля вызовет в последующие периоды времени увеличение нагрузок на лавы с высокой себестоимостью угля. При отсутствии соответствующих организационно-технических мероприятий это может вызвать в будущем увеличение себестои­мости. И хотя даже временное снижение себестоимости угля может оказаться с экономической точки зрения в некоторых условиях оправданным, это все же показывает, что данную задачу надо рассматривать в более сложной постановке, учитывая перспективу развития работ на шахте.

 

Планирование оптимального сочетания систем разработки

Рассмотрим рудник, состоящий из двух участков, на каждом из которых с учетом горно-геологических условий могут применяться две системы разработки.

Плановым заданием качество руды определено содержанием полезного компонента в пределах 6,8-7,2 %, а объем добычи должен быть не менее 500 тыс. т. Коэффициенты извлечения руды из недр для систем разработки равны 0,6 и 0,7%. Остальные данные по участкам и системам разработки указаны в табл. 2.4.

 

 

Таблица 2.4

№ участка	Содержание полезного компонента, %	Затраты на добычу (руб/т) при системах разработки		Минимальная добыча, тыс. т	Максимальная добыча, тыс. т
		I	II
1	6	3	2,5	180	320
2	8	2	1,5	200	360

 

Какими системами разработки на участках можно обеспечить выполнение плановых и технологических ограничений с минимальными суммарными затратами на добычу?

Обозначим через   искомый объем добычных работ на i -м участке при использовании j -й системы разработки ().

Запишем математическую модель задачи.

Целевая функция — суммарные затраты на добычу

.

Ограничения:

а) по плановой добыче

;

б) по качеству руды

в) по общему объему добычи участков с учетом запасов

;

;

г) по неотрицательности искомых объемов добычи

.

После необходимых преобразований ограничение «б» запишем в виде двух неравенств:

;

.

Заполняем таблицу Excel аналогично алгоритму для решения задачи планирования нагрузок  на лавы. Исходная таблица с данными и формулами представлена на рис. 2.13.

 

Рис.2.13. Заполнение исходных данных

В результате получено следующее решение (рис.2.14):

 

Рис.2.14. Решение задачи оптимального сочетания

 

Это значит, что и на первом и на втором участках следует при­менять только II систему разработки, добывая соответственно по участкам 200 и 300 тыс. т руды. При таком планировании минимальные затраты на добычу составят 950 тыс. руб.

Значения в ячейках F3=500 и F5=0 показывают, что первое и третье ограничения выполняются как равенства, т.е. суммарная добыча составит 500 тыс.т, а содержание полезного компонента 7,2 %.