Формальная постановка задачи

Введение                  

 

Современная горная промышленность характеризуется огромными масшта­бами производства, большими производственными затратами на добычу и переработку полезных ископаемых и имеет высокую на­роднохозяйственную значимость.

Управление предприятиями горной отрасли предполагает стро­гий учет и контроль расходования и экономии природных, материальных и финансовых ресурсов с применением совре­менных методов количественного анализа, с широким использованием компьютерной техники. Это в значительной степени позволяет повысить эффективность, качество и дей­ственность плановых и управленческих решений.

Математические методы яв­ляются эффективным инструментом анализа хозяйствен­ных ситуаций, позволяют выбирать оптимальные варианты разви­тия и размещения производства. Использование экономико-математических моделей помогает принимать оптимальные решения при разработке планов и в процессе их реализации, определять наиболее эффективные варианты реконструкций и расширения действующих предприятий, находить оптимальное сочетание тру­довых и материальных затрат и т. д.

Особенностью процессов менеджмента на горных предприятиях в общем случае является необхо­димость принятия решений при огромном многообразии произ­водственных ситуаций. В связи с этим необходимо уметь количественно оценивать степень осу­ществления поставленной цели при каждом варианте решения.

Принятие решений при планировании и управле­нии горным производством, как правило, требует привлечения специального математического аппарата. Математические методы условно делят на два класса: вероятностные и детерминированные. К вероятностным методам относятся регрессионный анализ, различные методы прогнозирования, теория игр, теория принятия решений, имитационное моделиро­вание и др.; к детерминированным - матричные методы, линей­ное и нелинейное программирование, потоки в сетях, и др.

Практическое использование математических моделей реальной размерности, как правило, требует решения задач на компьютере. Традиционная математическая подготовка специалиста была ориентирована на проведение расчетов вручную, что требовало больших затрат времени. Но теперь, в связи с переходом на двухуровневую систему образования, необходимо научить  студентов решать задачи оптимизации более эффективно и с меньшими затратами времени. Такую возможность дают не только специализированные математические программы, такие как MatLab, Mathcad, Maple, Stastistica и др., но и программы общего назначения, такие как Excel, Calc и др.

Освоение специальных программ - достаточно трудоемкая задача. Тем более что фактически все они нерусифицированы. В то же время табличный процессор Excel намного легче в освоении, и его современная версия позволяет решать большое количество оптимизационных математических задач.

Глава 1. Методы математического программирования

Формальная постановка задачи

При формальной постановке задачи математического програм­мирования основными понятиями являются инструментальные пере­менные, допустимое множество и целевая функция.

Задача заключается в нахождении значений переменных x₁,...,x_n, которые называются инструментальными.

.

Вектор , записанный в виде вектора-столбца или вектора-строки, есть вектор инструментальных переменных в n -мерном евклидовом пространстве Е_n.

Если вектор инструментальных переменных  удовлетворяет ограничениям задачи, он называется допустимым, а множество всех допустимых векторов образует допустимое множество X, где . Так как задача заключается в выборе вектора инструментальных переменных из допустимого множества X, то в любой нетривиаль­ной задаче оно является непустым.

Целевая функция - это краткое математическое представление цели данной задачи. Обычно это действитель­ная непрерывно дифференцируемая функция вектора инструменталь­ных переменных.

.                                (1.1)

Общая задача математического программирования состоит в выборе вектора инструментальных переменных из множества возможностей, максимизирующего значение целевой функции:

.

При этом учитывается, что задача максимизации функции эк­вивалентна задаче минимизации функции   при тех же условиях.