Зубчатые механизмы передачи вращательногодвижения

  Структура и кинематика.

Передача движения в приводе машины осуществляется с помощью механизмов, в состав которых входят вращающиеся звенья, контактирующие по высшей кинематической паре. Параметры механизмов устанавливаются целевой функцией, основанной на передаточной функции и отражающей соотношения входных и выходных параметров привода. Для механизмов с вращающимися звеньями кинематическая передаточная функция отождествляется с передаточным отношением.

Передача движения между звеньями происходит по сопряженным поверхностям. Контактирующие поверхности будут сопряжены, если вектор скорости относительного движения в любой точке контакта находится в касательной плоскости, а общая нормаль к нему перпендикулярна.

Воспроизведение передаточного отношения устанавливается на основании теоремы о соотношении скоростей в высшей кинематической паре, где показано, что нормаль в точке контакта профилей двух звеньев, совершающих вращательное движение, делит расстояние между центрами вращения на отрезки обратно пропорциональные угловым скоростям этих звеньев.

Геометрические места точек на плоскостях пары звеньев, приходящих в соприкосновение по линии центров называют центроидами относительного движения. Перекатывание центроид без скольжения друг относительно друга воспроизводит передаточную функцию механизма.

В случае, когда общая нормаль пары звеньев проходит через одну и ту же точку на линии центров называемую полюсом, отношение угловых скоростей будет величиной постоянной, а центроиды в этом случае называют начальными окружностями. Сопряженные профили располагается относительно центроид так, чтобы в любой точке контакта нормаль проходит через полюс.

Рисунок 2.1 – Схема кинематических характеристик вращающихся

звеньев, сопряженных по высшей кинематической паре

В общем случае расположения осей 1 и 2 сопряженных звеньев (рисунок 2.1), при передаче вращательного движения с угловыми скоростями w ₁ и w ₂  перемещение звена 2 относительно звена 1 представляет собой вращение вокруг и скольжение вдоль мгновенной оси Р – Р, проходящей через точку W, лежащую на линии О₁О₂ кратчайшего расстояния между осями звеньев.

Положение точки W определяется из условия

О₁W/ О₂W= tg d₁/ tg d₂,          (2.1)

где d₁ и d₂– углы, образованные осями пары звеньев с мгновенной осью относительного движения.

Мгновенная ось вращения и скольжения параллельна вектору относительной скорости , направление и величину которого, на основании теоремы сложения угловых скоростей, определяют угловые скорости

₁и₂

=_{1 + 2}.                       (2.2)

Линейная скорость поступательного перемещения одного звена относительно другого отождествляется со скоростью скольжения v_ск

v_ск=v₁₂=О₁О₂× w ₁× w ₂×sind/W,                                     (2.3)

где d–угол скрещивания между осями вращения сопрягаемых пары

звеньев.                                     

Когда скорость скольжения равна нулю, относительное движение будет только вращательным с относительной угловой скоростью.

На основании соотношения (2.1) передаточное отношение i ₁₂между двумя вращающимися сопряженными звеньями 1 и 2 устанавливается зависимостью

i ₁₂= w ₁/ w ₂=О₂W× cos d₂/(О₁W× cos d₁),                             (2.4)

гдеО₁W и О₂W –радиусы начальных окружностей центроид пары

звеньев.

Передаточное отношение будет величиной постоянной в случае, когда угловые скорости w ₁ и w ₂  и углы d₁ и d₂ неизменны во времени.

В случае,когда имеет место движение c относительной угловой скоростьюW с одновременным перемещением контактирующих элементов вдоль мгновенной оси Р–Р со скоростью v₁₂, т.е. происходит винтовое движение с параметром h

h =v₁₂/W.                                                  (2.5)

Поверхности, которые описывает мгновенная ось относительного движения звеньев передачи в системе координат каждого из них называютаксоидными.

В случае, когда оси звеньев перекрещиваются в пространстве, аксоидами в относительном движении будут однополостные гиперболоиды вращения (рисунок 2.2).

Рисунок 2.2 – Аксоиды звеньев со скрещивающимися осями

 

Нормаль к поверхности гиперболоидов пройдет через их оси вращения, и движение в этом случае можно передать только силами трения, прижимая звенья. Чтобы избежать этого для передачи движения звеньям придают форму, при которой нормаль к поверхности не проходит через их оси вращения, а касательная плоскость проходит через векторы угловой и линейной скоростей. При этом образуются новые гиперболоиды, касание которых с аксоидными гиперболоидами происходит в точке.

При точечном касании в качестве начальных поверхностей можно принимать не только гиперболоиды вращения, но и более простые по своей форме поверхности.

В частности, это могут быть круглые цилиндры, построенные у горловин гиперболоидов и касающиеся друг друга в точке, лежащей на линии кратчайшего расстояния между осями колес (А₁ и А₂ на рисунке 2.2) и образующие винтовую передачу, или конусы с несовпадающими вершинами, имеющие также точечный контакт (В₁ и В₂, В¢₁ и В¢₂ на рисунке 2.2) и образующие гипоидную передачу.

Замена одного из цилиндров с винтовой линией на цилиндрическое колесо позволяет получить червячную передачу.

Распространение получили червячные передачи, в которых оси элементов скрещиваются под углом 90° (рисунок 2.3). Цилиндр с винтовой линией принято называть червяком, а сопряженный с ним цилиндр, на котором расположены зубья с наклоном – червячным колесом.

Уголподъемалинии витка червякаgвлияет на габариты и коэффициентполезногодействиячервячнойпередачи.

 

Рисунок 2.3 – Передача червячная: r ₁, r ₂ – радиусы начальных

окружностей 1-го и 2-го звена соответственно;

g – уголподъемалинии витка червяка

 

В случае, когда оси звеньев пересекаются, ось относительного вращения расположена в плоскости осей звеньев, проходит через точку пересечения этих осей и делит угол между ними на углы, синусы которых обратно пропорциональны угловым скоростям. Аксоидные поверхности представляют собой конусы с общей вершиной: с внешним касасанием (рисунок 2.4, а) или с внутренним касанием(рисунок 2.4, б).

Относительное движение воспроизводится перекатыванием этих поверхностей без скольжения.

Осью относительного вращения является общая образующая аксоидныхконусов по которой они соприкасаются. Эти аксоидные поверхности можно принять в качестве начальных конусов.

Рисунок 2.4 – Передача коническая:

а) – внешнее касание звеньев; б) – внутреннее касание звеньев.

(d₁, d₂, r ₁, r ₂ – углы конусности и радиусы внешних окружностей

конусовсоответственно 1-го и 2-го звеньев)

В случае, когда оси звеньев параллельны друг другу, аксоидными поверхностями будут цилиндры с внешним касанием (рисунок 2.5, а) или с внутренним касанием (рисунок 2.5, б). Относительное движение воспроизводится перекатыванием этих поверхностей без скольжения. Эти аксоиды можно принять в качестве начальных поверхностей элементов цилиндрической передачи.

 

 

Рисунок 2.5 – Передача цилиндрическая:

а) – внешнее касание звеньев;     б) – внутреннее касание звеньев

(r ₁, r ₂ – радиусы начальных окружностей соответственно 1-го и 2-го

Звеньев)

 

Передаточные отношения между элементами механических передач вращения устанавливаются соотношениями угловых скоростей звеньев:

- для цилиндрических передач 

i ₁₂ = w ₁/ w ₂= r ₂/ r ₁;                                           (2.6)

- для конических передач

i ₁₂ = w ₁/ w ₂= r ₂/ r ₁;                                           (2.7)   

- для конических ортогональных передач (d=d₁+ d₂=90°)

i ₁₂ = w ₁/ w ₂= r ₂/ r ₁= сtg d₁= tg d₂;                             (2.8)

- для передач, оси которых скрещиваются в пространстве

i ₁₂ = w ₁/ w ₂= r ₂/(r ₁× tg g).                                  (2.9)

Знак передаточного отношения зависит от направления угловых скоростей, т.е. когда направление вращения сопрягаемых элементов противоположны друг другу устанавливается знак «минус» (внешнее зацепление пары колес), а при одинаковой направленности – знак «плюс» (внутренне зацепление пары колес).

Механизмы могут быть образованы колесами с неподвижными и подвижными осями. Механизмы с колесами, которые вращаются вокруг осей не перемещающихся в пространстве называют рядовыми.

В зависимости от заданного общего передаточного отношения и выбранной схемы передачи могут быть одно-,двух-и многоступенчатые.

 

Для рядовых механизмов, состоящих из нескольких пар колес m общее передаточное отношение получают перемножением передаточных отношений каждой пары, взятых со своими знаками

i _1n = w ₁/ w_n=(– 1)^m×(i_{1 2})×(i_{2 3})×…× (i _(n-1)n).                    (2.10)

Знак передаточного отношения при четном количестве внешних зацеплений положительный, при нечетном – отрицательный.В случае, когда передача вращательного движения осуществляется зубчатыми колесами их начальные поверхности – это взаимно касающиеся поверхности, в любой точке касания которых можно провести общую касательную к линии зубьев, лежащих на этих поверхностях.

Общая нормаль к зацепляющимся профилям зубьев в точке контакта всегда проходит на линии центров через одну и ту же точку, называемую полюсом зацепления. При этом вектор линейной относительной скорости колес направлен вдоль этой касательной или равен нулю.

Профили зубьев, удовлетворяющие этому условию, являются сопряженными и обеспечивают выполнение основного закона зацепления: для сохранения постоянства передаточного отношения зубчатого механизма необходимо, чтобы нормаль к соприкасающимся профилям зубьев в точке контакта всегда проходила на линии центров через одну и ту же точку, называемую полюсом зацепления, которая занимает неизменное положение. Основной закон зацепления сформулирован на основании теоремы о соотношении скоростей в высшей кинематической паре.

В передачах зацеплением передаточное отношение i отождествляется с передаточным числом u, которое представляет собой отношение числа зубьев одного колеса к числу зубьев другого.

Дискретная величина передаточного числа не всегда совпадает с аналоговым значением передаточного отношения. При понижении частоты вращения колес от входа к выходу передаточное число u ₁₂–  это отношение числа зубьев z ₂ большего колеса к числу зубьев z ₁ меньшего колеса

u ₁₂= z ₂/ z ₁ = w ¢₁/ w ¢₂ = i¢ ₁₂,                      (2.11)

где w ¢₁ и w ¢₂–откорректированныезначенияугловых скоростей звеньев 1 и 2 в соответствии с ихгеометрическими параметрами, установленнымиокончательнымрасчетом; i¢ ₁₂– фактическоезначение передаточного отношенияпарыколес.

Для червячных передач в качествезначения z ₁ принимают количество заходов (витков) на червяке,а количество зубьев на червячном колесе обозначают z ₂ .

Передачи с колесами, оси которых подвижны и перемещаются вокруг окружностей других колес, будучи с ними связанными, называются эпициклическими.

Эпициклическая передача, в которой на отдельные звенья наложена дополнительная кинематическая связь называется планетарной (рисунок 2.6).

Рисунок 2.6 – Схема трехзвенного планетарного механизма:

1 – колесо центральное; 2 – сателлит; h– водило

 

Звено h входит во вращательные пары О₁ со стойкой и О₂ с зубчатым колесом 2 и вращается с угловой скоростью w _h. Звено 2 обегает центральное неподвижное колесо 1, вращаясь с угловой скоростью w ₂ вокруг мгновенного центра вращения Р₀. Звено 1 называют центральным колесом, звено 2 – сателлитом, звено h –водилом.

Механизмы, в которых хотя бы одно звено имеет подвижную ось называютсателлитными. Сателлитные механизмы с одной степенью подвижности являются планетарными. Передаточное отношение в таких передачах устанавливается по связи угловых скоростей w ₂ и w _h через линейную скорость v_O2 точки O₂,общей для колеса 2(сателлита) и водила h

v_O2= w ₂× r ₂= – w _h×(r ₁ – r ₂),                         (2.12)

где r ₁ и r ₂ – радиусы центрального колеса и сателлита соответственно.

При условно неподвижном колесе 1 по принципу обращенного движения величина передаточного отношения от второго звена к водилу определяется по формуле

i _2h⁽¹⁾ = w ₂/ w _h=(r ₂ – r ₁)/ r ₂=1– (r ₁/ r ₂)=1– i ₂₁^(h),   (2.13)     

где i ₂₁^(h) – передаточное отношение от второго колеса к первому при условно остановленномводиле h.

В планетарных механизмах с круглыми колесами сумма передаточных отношений при различных останавливаемых звеньях всегда равна единице

i _2h⁽¹⁾ + i ₂₁^(h)=1.                                 (2.14)

Сателлитные механизмы с двумя и более степенями подвижности называют дифференциальными механизмами, (рисунок 2.7).

 

Рисунок 2.7 – Дифференциальный механизм с цилиндрическими

колесами:1, 2 – колеса центральные; 3 – сателлит; h – водило

 

Классификационные формулы планетарных передач составляют с помощью букв латинского алфавита. Заглавными буквами обозначают типы механизмов, а строчными буквами обозначают звенья, образующие эти механизмы. Особенности структуры передачи уточняют индексами. Нижние индексы относятся к основным звеньям. Первый из них указывает звено, передающее наибольший крутящий момент. Верхний индекс указывает какое звено не вращается.

Планетарные зубчатые передачи классифицируют по сходным конструктивно – функциональным признакам механизмов.

Планетарный механизм 2k – h содержит в качестве основных звеньев два центральных колеса k и водило h. Передачи с этим механизмом имеют обозначения:

А – передача, механизмкоторойсодержитодновенцовыйсателлит,

центральное колесо а с внешними зубьями и центральное колесо b свнутреннимизубьями (рисунок 2.8, а – передача А^b_ha с остановленным центральным внешним колесом b, рисунок 2.8, б – передача А^а_hbc остановленным центральным внутренним колесом a, рисунок 2.8, в – передача А^h_baс остановленным водилом h);

В – передача, механизм которой содержит двухвенцовый сателлит, центральное колесо а с внешними зубьями и центральное колесо b с зубьями на внутренней поверхности обода (рисунок 2.8, г – передача В^b_hac остановленным внешним центральным колесом b);

С – передача, механизм которой содержит двухвенцовый сателлит и центральные колеса b и е с внутренними зубьями (рисунок 2.8, д – С^b_ehc остановленным внешним центральным колесом b);

Е – передача, механизм которой содержит одновенцовый сателлит и конические зубчатые колеса (рисунок 2.8, е – передача Е).

Рисунок 2.8– Схемы передач с механизмом 2k –h

 

Механизм 3k (рисунок 2.9) в качестве основных звеньев имеет три центральных колеса. В этом случае водило не воспринимает нагрузку от внешних моментов, а только поддерживает сателлиты. 

Рисунок 2.9 – Схема передачи с механизмом 3k

 

Замкнутые передачи (передачиg – d) содержат дифференциал, основные звенья которого обозначают буквами a, b, g. На рисунке 2.10, а показан механизм, у которого звено g вращается с одним из выходных валов, а два других основных звена a и b

связаны с другим выходным валом d. На рисунке 2.10, б показан механизм основное звено b которого соединено с выходным валом d (передачей b– d), а механизм А (передача a– d) выполняет функции тихоходной ступени. 

Рисунок 2.10 – Схемы передач с механизмом g - d

 

В обозначении последовательно соединенных механизмов применяют знак лигатуры    , который указывает пару звеньев соседних ступеней, соединенных друг с другом. Звеньям тихоходной ступени присваивают индекс 1, а звеньям быстроходной ступени – индекс 2 (A^b1_h1a1A^b2_h2a2, A^b1_h1a1A^h2_b2a2).                                                                   

 

На рисунке 2.11 изображены схемы передач, составленных из двух механизмов А.

Рисунок 2.11 – Схемы двухступенчатых планетарных передач:

а) передача А^b1_h1a1А^b2_h2a2; б) передача А^b1_h1a1А^h2_b2a2;

в) передача (АА)^h1_(b1h2)a2; г) передача (АА)^h1_(b1b2)a2

 

При расчете зубчатым колесам помимо принятых буквенных обозначений присваются индексы 1 и 2 соответственно меньшему и большему элементу сцепляющейся пары.

В волновых передачах (рисунок 2.12) генератор, вращаясь, деформирует гибкое колесо g таким образом, что оно входит в зацепление с жестким центральным колесом b в нескольких зонах, которые перемещаются по окружности, вызывая вращение гибкого колеса g относительно жесткого колеса b.

Рисунок 2.12 – Зубчатая волновая передача: 1 – гибкое колесо;

2 – жесткое колесо; 3 – генератор

 

Деформирование гибкого колеса генератором носит гармонический характер, поэтому передача получила название волновой. Количество зон зацепления колес g и b определяет число волн деформации n_w. В свободном состоянии без генератора колеса находятся в концентричном положении с равномерным зазором между зубьями жесткого и гибкого колес. Генератор деформирует гибкое колесо в радиальном направлении. При этом максимальная деформация вызывает зацепление зубьев на полную рабочую высоту, а при минимальной деформации между вершинами зубьев образуется радиальный зазор.

При зацеплении гибкого и жесткого колес в каждой зоне одновременно под нагрузкой находится большое число пар зубьев. Многопарность контакта зубьев при наличии нескольких зон зацепления определяет относительно высокую нагрузочную способность волновых зубчатых передач.

Число зубьев жесткого колеса (z)_b больше, чем число зубьев гибкого колеса (z)_g. Разность чисел зубьев колес волновой передачи принимают равной или кратной числу волн деформации n_w

                         (z)_b–(z)_g= K _k×n_w,                                              (1.15)

где K_k – коэффициент кратности.

Передаточное число волновой передачи u выражают в соответствии с указаниями по определению передаточных отношений планетарных передач.

Количество зубьев волновой передачи определяют в зависимости от передаточного отношения, числа волн деформации и коэффициента кратности.

При увеличении коэффициента кратности растет разность между максимальной и минимальной деформацией гибкого колеса и повышается уровень напряжений. Оптимальная величина коэффициента кратности равна единице (K_k =1).

При увеличении числа волн деформации повышаются неравномерность распределения нагрузки между зонами зацепления и напряжения в гибком колесе.

Увеличение числа зубьев колес требует большей жесткости элементов передачи и высокой точности изготовления.

Уменьшение количества зубьев снижает выносливость на изгиб зубьев и обода гибкого колеса. Для одной ступени число зубьев устанавливают в пределах 140<(z)_b>600. Передаточное отношение рекомендуется брать в диапазоне 300>| i ^b_hg|>70. Величину модуля зацепления рекомендуется принимать больше 0,3 мм (m ³0,3 мм).

Равномерное распределение нагрузки между зонами зацепления разгружает опоры звеньев b, g и h.

Потеря работоспособности волновой передачи может наступить вследствие: износа зубьев, усталостных поломок гибкого колеса, выкра-

шивания тел качения и беговых дорожек гибкого подшипника.

Одноступенчатые цилиндрические и конические передачи используют обычно при передаточном отношении i £7. При больших значениях i целесообразно применять передачи со скрещивающимися осями и многоступенчатые передачи различной комбинации как с подвижными, так и с неподвижными осями.