Задание 2. «Морской бой»

Задания на V Минский городской открытый

Турнир юных математиков – 2018

младшая лига, 5-7 классы,                                                       14-17 марта 2018 г.

Ø Предварительные заявки с указанием учреждения(й) образования, руководителя команды, его телефона и электронного адреса необходимо представить до 15 февраля 2018г.

Ø Официальные заявки и предварительные исследования (материалы) необходимо представить до 23 февраля 2018г.

Ø В предварительных материалах должны быть представлены ваши исследования (решения) не менее 6 заданий.

Ø Адрес оргкомитета: 220030, г.Минск, пр.Независисмости, 4, БГУ, ФПМИ, каб. 515, тел. 8-017-209-50-70

E-mail: uni-centre@bsu.by; zadvorny@bsu.by

Ø подробнее см. сайт www.uni.bsu.by (на странице «Минский городской открытый турнир юных математиков – младшая лига»)

Обращаем ваше ВНИМАНИЕ на то, что предлагаемые задачи (задания!) носят исследовательский характер, поэтому наилучшие обобщения и полные решения неизвестны даже их авторам, поэтому:

· хотя мы и ждем максимальных ВАШИХ обобщений, но во многих задачах интерес представляют даже отдельные частные случаи;

· возможно (это допускается и даже приветствуется) ВЫ сможете усилить ряд утверждений, приведенных непосредственно в формулировках задач;

· кроме рассмотрения исходной постановки полезно исследовать свои направления, причем совсем необязательно ваши обобщения должны совпадать с предложениями авторов задач;

· КАЖДУЮ ЗАДАЧУ НЕОБХОДИМО ОФОРМИТЬ ОТДЕЛЬНО:

Ø в распечатанном (шрифт –Times New Roman, размер 14 пт) или аккуратно записанном от руки виде;

Ø при этом оформление каждой задачи должно начинаться С ТИТУЛЬНОГО ЛИСТА, на котором должны быть указаны номер задачи и ее название, название учреждения(й) образования, город, автор(ы) исследования (решения);

Ø НИЖЕ НА ТИТУЛЬНОМ ЛИСТЕ (или на втором листе) обязательно дайте краткое резюме вашего исследования – какие пункты Вы решили, какие сделали обобщения,

Ø при этом четко сформулируйте ВАШИ ГЛАВНЫЕ ДОСТИЖЕНИЯ (утверждения, примеры, гипотезы), с указанием страниц в работе, где они приведены и доказаны (обоснованы); 

Ø на последней странице приведите список литературы и Интернет-источников, которые Вы использовали при проведении исследования (строго обязательно!)

Задание 1.     Счастливые числа

1. В вершинах куба живут числа. Во всех вершинах числа попарно различные. Число будет «счастливым», если оно равно сумме всех трех своих соседей. Какое наибольшее количество «счастливых» чисел может быть в кубе если:

a. Все числа натуральные

b. Все числа целые

2. Решите аналогичную задачу для натуральных, целых и рациональных чисел, если «счастливым» называть число равное

a. Произведению трех соседей

b. Или произведению трех соседей или сумме трех соседей.

3. А если «счастливым» будет число которое равно

a. Сумме двух любых своих соседей

b. Сумме двух соседей умноженной на третьего соседа

4. Попробуйте решать пп. 1-3 для других фигур:

a. Тетраэдр, октаэдр, додекаэдр

b. N-мерный куб (в пункте 3 можно считать, что счастливое число равно сумме (n-1) соседа вместо двух. Можно также исследовать и для других значений количества соседей больше 1.)

5. Придумайте свои варианты и обобщения.

 

 

Задание 2.    «Морской бой»

Пункт 1:   Имеется поле 5x5 для игры в «Морской бой». Клетки поля обозначаются так: строки обозначаются числами 1, 2, 3, 4, 5 сверху вниз, столбцы – буквами а, б, в, г, д слева направо. Флот может состоять из: четырёхклеточного корабля – «линкор», трёхклеточного корабля –«крейсер», двух двухклеточных кораблей –«эсминцы», и четырёх одноклеточных кораблей – «подводные лодки». Корабли не должны иметь общих точек. Каждый ход – это удар по одной из клеток.

1. На доске 5x5 стоит

а) «линкор»;

б) «крейсер»;

в) «эсминец»;

г) «подводная лодка».

 Где именно он стоит, нам неизвестно. По скольким клеткам надо нанести удары, чтобы наверняка попасть в «линкор»? (здесь и в остальном тексте интересует минимально возможное число выстрелов)

2. На доске 5x5 стоит эскадра из двух кораблей – «линкора» и «крейсера». По скольким клеткам надо нанести удары, чтобы наверняка задеть хотя бы один из кораблей эскадры?

3. На доске 5x5 стоит эскадра из «линкора» и 2 «крейсеров». Найдите план стрельбы, гарантирующий попадание за минимальное число выстрелов.

4. Корабли эскадры в сумме занимают 10 клеток. Какие корабли выбрать, чтобы как можно больше было то количество выстрелов, за которое можно наверняка попасть в один из кораблей?

Пункт 2: Имеется поле 10x10 для игры в «Морской бой». Клетки поля обозначаются так: строки обозначаются числами 1, 2,…, 10 сверху вниз, столбцы – буквами а, б, в, г, д, е, ж, з, и, к слева направо. Флот состоит из: четырёхклеточного корабля – «линкор», трёхклеточного корабля –«крейсер», двух двухклеточных кораблей –«эсминцы», и четырёх одноклеточных кораблей – «подводные лодки». Корабли не должны иметь общих точек. Каждый ход – это удар по одной из клеток.

5. На доске 10x10 стоит

а) «линкор»;

б) «крейсер»;

в) «эсминец»;

г) «подводная лодка».

 Где именно он стоит, нам неизвестно. По скольким клеткам надо нанести удары, чтобы наверняка попасть в «линкор»? (интересует минимально возможное число выстрелов)

6. На доске 10x10 стоит эскадра из двух кораблей – «линкора» и «крейсера». По скольким клеткам надо нанести удары, чтобы наверняка задеть хотя бы один из кораблей эскадры?

7. На доске 10x10 стоит эскадра из «линкора» и 10 «крейсеров». Найдите план стрельбы, гарантирующий попадание не более чем за 23 выстрела.

8. Для гарантированного попадания в эскадру из «линкора», «крейсера», «эсминца» и 4 «подводных лодок» необходимо 24 выстрела. Докажите.

9. Для гарантированного попадания в один из кораблей эскадры из «крейсера» и двух «эсминцев» необходимо не менее 33 выстрелов. Докажите.

10. Корабли эскадры в сумме занимают 10 клеток. Какие корабли выбрать, чтобы как можно больше было то количество выстрелов, за которое можно наверняка попасть в один из кораблей?

Пункт 3: Имеется поле 5x5х2 для игры в «Морской бой 3 D». Клетки поля обозначаются так: длина обозначается числами 1, 2, 3, 4, 5 сверху вниз, глубина – буквами а, б, в, г, д слева направо, и высота – I, II. Над водой (верхняя часть доски) плавают только корабли, под водой (нижняя часть доски) – подводные лодки. Флот может состоять из: четырёхклеточного корабля – «линкор», трёхклеточного корабля –«крейсер», двух двухклеточных кораблей –«эсминцы», и четырёх одноклеточных кораблей – «подводные лодки». Корабли не должны иметь общих точек, а подводная лодка может соприкасаться не более чем с одним кораблем в вершине одной клетки. Каждый ход – это удар по одной из клеток.

11. На доске 5x5х2 стоит эскадра из трёх кораблей – «линкора» и двух «подводных лодок». По скольким клеткам надо нанести удары, чтобы наверняка задеть «линкор» и потопить одну «подводную лодку»?

12. На доске 5x5х2 стоит эскадра из «линкора», «крейсера» и четырех «подводных лодок». Найдите план стрельбы, гарантирующий за минимальное количество выстрелов попадание и в надводный флот и в подводный.

13. Корабли эскадры в сумме занимают 8 клеток. Какие корабли выбрать, чтобы как можно больше было то количество выстрелов, за которое можно наверняка попасть в один из кораблей?

 

Задание 3.     Разрезания – 3

1. Какое максимальное количество прямоугольных плиток 1×4 можно вырезать из клеточного прямоугольника 10×10? (Разрезы проводятся по линиям клеток.)

2. Какое максимальное количество прямоугольных плиток 1×4 можно вырезать из прямоугольника m × n (ответ будет зависеть от m и n)?

3. Рассмотрите аналогичные вопросы для плиток 1×3.

4. Рассмотрите аналогичные вопросы для плиток 1×5, 1×6.

5. Предложите свои обобщения и направления исследования в этой задаче. Заметим, что кроме естественных обобщений типа «рассмотрите плитки других размеров 1×7 и т.д.», интересно рассмотреть вырезание плиток другого вида, например, уголков или плиток, имеющих вид буквы Т (см. рис.),

либо разрезание не прямоугольника, а уголка, состоящего

из клеток, т.п.  

 

 

Задача 4.   Уравняем кучки

Две исходные задачи:

1.0) В трех кучках находится 22, 14 и 12 орехов. Требуется путём трёх перекладываний из одной (какой-то) кучки в некоторую другую уравнять число орехов в этих кучках, соблюдая при этом условие: из любой кучки разрешается перекладывать в другую кучку лишь столько орехов, сколько орехов в той кучке уже имеется.

2.0) У трех мальчиков (у Пети, Вани и Толи) есть по кучке фантиков. Общее число фантиков 120. Сначала Петя дал Ване и Толе столько фантиков, сколько у них было (каждому из них столько, сколько у того было). Затем Ваня дал Пете и Толе столько, сколько у них стало после первого перекладывания. И наконец, Толя дал Пете и Ване столько, сколько у них к этому моменту имелось (т.е. после второго перекладывания). В результате всем досталось поровну. Сколько фантиков было у каждого в начале?

Более общие задачи:

1) В трех кучках находится m, n и k орехов. Требуется путём нескольких перекладывании уравнять число орехов в этих кучках, соблюдая при этом условие: из любой (какой-то) кучки разрешается перекладывать в другую кучку лишь столько орехов, сколько в той их уже имеется. При каких значениях натуральных чисел m, n и k это возможно сделать. (Важно не только дать ответ, при каких значениях m, n и k можно, а при каких – нельзя, но и обосновать почему, в случае «можно» полезно описать алгоритм перекладываний).

2) Исследуйте задачу 2.0 для произвольного исходного числа N фантиков, а именно, при каких N мальчики могут поделить фантики поровну, а при каких – нет (ответ может зависеть от общего числа передачи фантиков от одного мальчика другим, а также от порядка передачи).

Еще одна задача:

3) В трех кучках находится m, n и k орехов. При тех же условиях перекладываний как в задаче 1 требуется опустошить одну из кучек. Попробуйте дать ответ на вопрос, при каких m, n и k это можно сделать и как? (Важно не только дать ответ, при каких значениях m, n и k можно, а при каких – нельзя, но и обосновать почему, в случае «можно» важно описать алгоритм перекладываний).

4) Попробуйте обобщить задачи 1) – 3) на несколько кучек (более трех, хотя бы в каких-то частных случаях).

6) Предложите свои обобщения в этой задаче и исследуйте их.