Задача 11. Признаки делимости

Под суммой цифр числа , будем понимать сумму .

Под суммой блоков цифр длины мы будем понимать сумму , где , и т.д.

Под взвешенной суммой цифр (блоков цифр) с весами будем понимать сумму

Если p ₁ = ±1 и p_i ₊₁ = – p_i для всех i ³ 1, то взвешенную сумму будем называть знакопеременной.

1. Докажите, что число делится на 3 тогда и только тогда, когда разность между количеством цифр 2, 5, 8 и количеством цифр 1, 4, 7 в записи числа делится на 3.

2. Докажите, что число делится на 37 тогда и только тогда, когда сумма блоков цифр длины 3 делится на 37.

3. Докажите, что для любого простого существует такое, что число делится на , тогда и только тогда, когда сумма блоков цифр длины делится на .

4. Докажите, что число делится на 137 тогда и только тогда, когда знакопеременная сумма блоков цифр длины 4 делится на 137.

5. Существует ли для любого простого числа число такое, что число делится на тогда и только тогда, когда знакопеременная сумма блоков цифр длины делится на .

6. Докажите, что число делится на 7 тогда и только тогда, когда взвешенная сумма блоков длины 2 с весами делится на 7.

7. Докажите, что число делится на 7 тогда и только тогда, когда взвешенная сумма блоков длины 2 с весами делится на 7.

8. Пусть , где , . Докажите, что делится на 7 тогда и только тогда, когда делится на 7.

9. Докажите, что для любого простого существуют целые числа , такие, что делится на тогда и только тогда, когда делится на . Для каких простых можно подобрать и так, чтобы или .