Теоретическое введение

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ

Цель работы – проверить экспериментально, что распределение интенсивности света в фо­кальной плоскости линзы представляет собой квадрат фурье-образа распределения комплексной амплитуды во входной плос­кости линзы.

 

Теоретическое введение

Основной элемент геометрической оптики – линза. С помощью линз можно получать изображения предметов как действительные, так и мнимые, как увеличенные, так и умень­шенные. Существует громадное количество приборов, в которых используется это свойство линзы. С развитием волновой оптики было обнаружено еще одно важное свойство линзы, позволившее создать новый класс оптических приборов.

Рассмотрим следующую задачу. Пусть световые колебания в плос-кости   х'у' описываются функци­ей

.

Комплексная амплиту­да света

включает в себя информацию не только об амплитуде, но и о начальной фазе колебаний. Предположим, что функ­ция  известна, т. е. известно распределение амплитуды и фазы световых колебаний в плоскости х'у', показанной на рис. 1. Необходимо найти распределение амплитуды света Е (х, у) на плос­кости ху, отстоящей от плоскости х'у' на расстояние .

 

При решении этой задачи используется принцип Гюйген­са–Фре-неля. В соответствии с этим принципом каждая точка волновой поверхности х'у' является источником вторичных сферических волн, которые, распространяясь, интерферируют между собой и создают наблюдае­мую дифракционную картину в плоскости ху. Решение упрощается, если предположить, что , где  – радиус области плоскости х'у', в пределах которой амплитуда света отлична от нуля;
 – длина световой волны. Решение задачи при этом условии называется приближе­нием Фраунгофера. В данном случае Е (х, у) описывается форму­лой

.     (1)

Если ввести обозначения , то формула (1) примет следующий вид:

.    (2)

Из курса математики известно, что любую функцию  можно представить интегралом (суммой) гармонических функ­ций, т. е.

.                             (3)

Здесь – частота гармонической функции, а Т – ее период. Функция , стоящая под интегралом, называется преобразованием Фурье или фурье-образом функции . Фурье-образ может быть найден по формуле

.                          (4)

В физике метод Фурье находит большое применение при анализе протекания различных процессов во времени. Тогда  – это вре­мя,
а  – частота колебаний во времени.

Если некоторая функция  зависит только от , то ее фу­рье-образ

.                     (5)

В этом случае  называется пространственной частотой и явля­ется величиной, обратной периоду гармонической функции вдоль оси х.

Если функция зависит от двух координат – х и у, т. е. , то преобразование Фурье в этом случае называется двумерным. Фурье-образ функции  имеет вид

.       (6)

Сравнивая выражение (6) с интегралом в формуле (2), приходим к выводу, что с точностью до постоянного множителя распреде­ление амплитуды света в плоскости ху является фурье-образом распределения в плоскости х'у'.

Использовать полученное свойство при свободной дифракции в пространстве оказалось затруднительным, так как для того чтобы выполнялось приближение Фраунгофера, расстояние  должно быть очень большим. Так, если принять  0,5 см,  = 0,5 мкм, то м.

Для уменьшения этого расстояния оказалось возможным при­менить собирающую линзу. Поскольку , интерферирующие лучи практически параллельны. Если вплотную к плоскости х'у' при­ставить тонкую собирающую линзу, то параллельные лучи, исхо­дящие от различных вторичных источников, расположенных в плоскости х'у', будут собираться в точку и интерферировать в фокальной плоскости линзы. Можно также доказать, что разно­сти фаз между интерферирующими лучами будут такими же, как и при интерференции на удаленном на расстояние  экране. Поэтому амплитуду света в фо­кальной плоскости линзы можно записать по формуле (2):

 ,     (7)

где ,  – пространственные частоты, а  – фокусное расстояние линзы.

Следовательно, с точностью до постоянного множителя рас­пределение амплитуды светового поля в фокальной плоскости линзы представляет собой фурье-образ распределения ком­плексной амплитуды света во входной плоскости линзы.

Указанное свойство линзы широко используется в современ­ных оптических устройствах обработки информации, с помощью которых решаются задачи обработки сигналов и изображений, распознавания образов, анализа зрительной системы человека и др. Соответствующий раздел оптики называется фурье-оптикой.

Для того чтобы во входной плоскости линзы создать заданное распределение света, выражаемое функцией , перед линзой помещают пластинку. На нее параллельно оптической оси системы направляется параллельный пучок монохроматического света длиной волны  и постоянной по сечению пучка амплиту­ды. Коэффициент пропускания света для этой пластинки должен зависеть от координат х' и у' так, чтобы амплитуда проходящего через пластинку света описывалась заданной функцией . Такую пластинку называют транспарантом. Фурье-образ функ­ции, записанной на транспаранте, появляется на экране практиче­ски мгновенно — за время прохождения света от транспаранта до экрана, что недостижимо для электронных цифровых процес­соров.

Распределение света в фокальной плоскости линзы обычно регистрируется с помощью фотоприемников, напряжение на выхо­де которых пропорционально не амплитуде света, а его интен­сивности. Интенсивность света пропорциональна квадрату ам­плитуды, а следовательно, распределение интенсивности в фокальной плоскости линзы пропорционально квадрату фурье-об­раза функции , т. е.

 

.          (8)