В настоящей работе предлагается на частном примере убедиться, что распределение интенсивности света в фокальной плоскости линзы представляет собой квадрат фурье-образа распределения амплитуды во входной плоскости линзы.
Поместим во входной плоскости линзы узкую щель, ширина которой равна , а длина а, как показано на рис. 2. На щель направим плоскую световую волну с волновым вектором, параллельным оптической оси. Амплитуду волны обозначим .Тогда в плоскости расположения щели для точек внутри щели , а для точек вне щели = 0. Распределение амплитуды света в фокальной плоскости линзы будет иметь вид:
(9)
Поскольку интенсивность света пропорциональна квадрату ампли-туды, для распределения интенсивности в фокальной плоскости имеем:
, (10)
где – интенсивность света в точке с координатами х = 0, у = 0.
Два сомножителя в выражении (10) имеют вид функции . График этой функции показан на рис. 3.
Рис. 3
Минимум этой функции наблюдается при
|
|
, = ±1, ±2,... (11)
Из выражений (10) и (11) следует, что ширина центрального максимума вдоль оси х,т.е. расстояние между –1 и +1 минимумами, равно
f / b,
а вдоль оси у –
f / b.
В нашей установке длина щели во много раз больше ширины щели . Поэтому . Это означает, что свет в фокальной плоскости линзы сосредоточен в виде узкой полоски, вытянутой вдоль оси х при у = 0. Зависимость интенсивности света от координаты х в этой полоске определяется формулой
(12)
и преобразование Фурье можно считать одномерным.
Для того чтобы убедиться экспериментально, что распределение интенсивности света в фокальной плоскости линзы соответствует формуле (12) и тем самым подтвердить, что это распределение пропорционально квадрату фурье-образа функции , можно определить координаты для некоторых минимумов и максимумов функции и величину для некоторых максимумов и сравнить эти данные с рассчитанными теоретически в соответствии с формулой (12).
Исследовав функцию на экстремум, можно заключить, что минимумы будут наблюдаться в точках с координатами
(13)
Центральный максимум наблюдается при х = 0. Максимумы более высоких порядков расположены не точно посредине между минимумами. Ниже приведены выражения для координат максимумов ±1,±2 и ±3 порядков:
|
(14)
Значения функции в центральном и трех последующих максимумах соотносятся как
|
|
|
(15)
Расстояние между соседними максимумами (или минимумами) в фокальной плоскости линзы невелико. Поэтому для удобства измерений с помощью другой линзы в некоторой плоскости создается действительное увеличенное изображение картины распределения света в фокальной плоскости. В этой плоскости располагается фотоприемник. Если в плоскости фотоприемника ось X направить параллельно оси х, а начало отсчета совместить с положением центрального максимума, то изображение точки, имеющей в фокальной плоскости координату х, будет иметь в плоскости фотоприемника координату X, причем , где – коэффициент увеличения.
Измерив координаты максимумов и минимумов в плоскости фотоприемника, можно вычислить соответствующие координаты в фокальной плоскости линзы по формуле
. (16)