Множество оптимальных решений

 

В случае если линия уравнения критерия будет параллельна какой-либо линии, ограничивающей область значений (коэффициенты при x₁ и x₂,будут пропорциональны), то оптимальными будут все решения, находящиеся на этой стороне.

Например, изменим условие нашей задачи: основные условия останутся прежними, а килограмм конфет «Кофе с молоком» будет продаваться не по 100, а по 80 рублей. Тогда уравнение критерия изменится на

 

F= 80 [руб]*x₁[кг]+ 80 [руб]*x₂[кг]→max (9)

 

И одна из линий уровня совпадет с линией уравнения

 

x₁* 0,8 + x₂* 0,8 =100 (10)

 

Из-за пропорциональности коэффициентов при x₁ и x₂. Все точки, находящиеся на отрезке прямой (10) для x₁ от 0 до 87.5 будут оптимальными см рис.3.

Рис. 3. Множество оптимальных решений на линии уровня

 

Симплекс таблица для этого случая будет выглядеть так:

Cb	БП	x1	x2	x3	x4	x5	x6	b
0 0 0 0	x3 x4 x5 x6	0.8 0.2 0.15 0	0.8 0.1 0.05 0.1	1 0 0 0	0 1 0 0	0 0 1 0	0 0 0 1	100 26 15 10
	ƒ	-80	-80	0	0	0	0	0

 

 

Видно, что отношение коэффициентов при x₁ и x₂ первой строки и критерия равны (0.8/(-80))=(0.8/(-80)), а значит все значения критерия, на отрезке прямой (10) для x₁ от 0 до 87.5 будут оптимальными. В конце вычислений один из коэффициентов критерия при небазисной переменной будет равен нулю.

 

Неразрешимость из-за неограниченности критерия

 

В случае если область допустимых значений не ограниченна со стороны увеличения критерия (для max), то все коэффициенты в одном из столбцов симплекс таблицы будут отрицательными.

Рассмотрим на примере следующей задачи:

Для производства лампочек на 40 и 100 Вт требуется соответственно 10 и 15 г стекла, 1 и 2 г вольфрама и по одному цоколю. При этом для поддержки безостановочного производства необходимо израсходовать не менее 5 кг стекла, 600 г вольфрама и 450 цоколей. Стоимость лампочки на 40 Вт – 8 руб, на 100 Вт -10 руб. Необходимо найти, сколько произвести лампочек на 40 (x₁) и 100 Вт (x₂) Для достижения максимальной прибыли.

Запишем ограничения:

 

Ограничение по стеклу:

x₁[шт]*10[г]+ x₂[шт]*15[г]≥5000[г]  (11)

Ограничение по вольфраму:

x₁[шт]*1[г]+ x₂[шт]*2[г]≥600[г]  (12)

Ограничение по цоколю:

x₁[шт]*1[шт]+ x₂[шт]*1[шт]≥450[шт]  (13)

 

На графике это будет выглядеть так: Рис. 4

	Рис. 4. Неразрешимость из-за неограниченности критерия

 

Из графика видно, что при увеличении любой из переменных (x₁ и x₂) критерий также увеличивается, при этом переменные не ограничены сверху. Поэтому для данной задачи оптимальных значений x₁ и x₂ нет.

 

Область неограниченна, но оптимальное решение существует

 

В случае, если в предыдущей задаче изменить тип критерия с максимизации на минимизацию прибыли, то решение будет существовать. Аналогично первой задаче можно получить ответ графическим способом: x₁=200[шт] x₂=200[шт] минимальная прибыль F=3600 руб.