Базисное решение, в котором хотя бы одна из основных переменных равна нулю, называется вырожденным
С графической точки зрения решение является вырожденным, когда три или более полуплоскостей пересекаются в одной точке.
Рассмотрим на примере следующей задачи:
Для производства шариков для пейнтбола зимнего и летнего типа требуется соответственно по 5 г желатина, 2 и 3 мл краски на водной основе и 2 и 1 мл стабилизатора. На складе производителя имеется: 15 кг желатина, 10 л краски и 7л стабилизатора. Стоимость шарика зимнего типа – 2руб, летнего типа 1,5 руб. Необходимо найти, сколько произвести шариков каждого типа (x1 и x2). Для достижения максимальной прибыли.
Запишем ограничения:
Ограничение по желатину:
x1[шт]*5[г]+ x2[шт]*5[г]≤15000[г] (14)
Ограничение по краске:
x1[шт]*2[мл]+ x2[шт]*3[мл]≤8000[мл] (15)
Ограничение по стабилизатору:
x1[шт]*2[мл]+ x2[шт]*1[мл] ≤4000[мл] (16)
Критерий запишется так:
F=2[руб]*x1[шт]+ 1.5[руб]*x2[шт]→max (17)
На графике Рис. 5 видно, что три полуплоскости (14), (15), (16) пересекаются в одной точке. Решив систему уравнений:
|
|
x1*5+ x2*5=15000
x1*2+ x2*3=8000 (18)
x1*2+ x2*1=4000
можно найти ее координаты x1=1000, x2=2000.
Как видно из графика, она же будет и оптимальной точкой, значит оптимальная прибыль
F=2[руб]*1000[шт]+ 1.5[руб]*2000[шт]=5000[руб]
|
Приведем ограничения к каноническому виду и посмотрим, как это будет выглядеть в симплекс таблице:
1. Первый опорный план x(1)=(0,0,15000,8000,4000)
Cb | БП | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | b |
0 0 0 | x3 x4 x5 | 5 2 2 | 5 3 1 | 1 0 0 | 0 1 0 | 0 0 1 | 15000 8000 4000 |
ƒ | -2 | -1.5 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Получаем первую замену x5 на x1
2. Второй опорный план x(2)=(2000,0,5000,4000,0)
Cb | БП | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | b |
0 0 2 | x3 x4 x1 | 0 0 1 | 2.5 2 0.5 | 1 0 0 | 0 1 0 | -2.5 -1 0.5 | 5000 4000 2000 |
ƒ | 0 | -0.5 | 0 | 0 | 1 | 4000 |
Определяем вторую замену x3 на x2
3. Третий опорный план x(3)=(1000,2000,0,0,0)
Cb | БП | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | b |
1.5 0 2 | x2 x4 x1 | 0 0 1 | 1 0 0 | 0.4 -0.8 -0.2 | 0 1 0 | -1 1 1 | 2000 0 1000 |
ƒ | 0 | 0 | 0.2 | 0 | 0.5 | 5000 |
Получили оптимальное решение (все коэффициенты критерия ≥0). Число положительных компонент меньше числа ограничений. Значит, признак вырожденности решения в симплекс таблице: в столбце свободных членов b есть нулевой элемент.
Строго говоря, при вырожденном базисном решении не всегда можно получить ответ. В случае, если данное вырожденное базисное решение не является оптимальным, решение задачи может зациклиться на замене одних и тех же переменных.