Математическое моделирование

 

Моделирование – замена одного объекта другим с целью изучения их общих свойств.

По средствам моделирования методы моделирования можно разбить на две группы: методы материального моделирования и методы идеального моделирования.

 

Материальным моделирование называется в том случае, когда копия объекта – модель имеет материальный характер.

В материальном моделировании можно выделить три группы методов: пространственное, физическое и аналоговое

Пространственное моделирование изучает геометрические свойства объекта (макеты, карты, глобус).

Физическое моделирование  служит для воспроизведения и изучения динамических свойств объектов (летательных аппаратов, технических сооружений).

В аналоговом моделировании изучаемый объект заменяется объектом другой физической  природы, поведение которого описывается теми же математическими соотношениями, что и изучаемого объекта. Например, механические колебания изучают с помощью электрической системы, более простой и дешевой, чем её механический аналог. Так поступают при изучении колебаний мостов.

Идеальное моделирование основывается не на материальной аналогии модели и изучаемого объекта, а на идеальной, мыслимой связи между ними. Материальной копии не создается.

Методы идеального моделирования можно разбить на две группы: формализованное (знаковое) и неформализованное (интуитивное) моделирование.

В формализованном моделировании реальный объект заменяется системой знаков (схемы, графики, чертежи, формулы).

 Важнейшим видом знакового моделирования является математическое моделирование. В этом случае копия моделируемого объекта (модель) представляет собой некоторые математические соотношения (уравнения, зависимости) между параметрами системы. Задавая значения одних параметров и находя из этих соотношений другие, интересующие исследователя параметры, можно тем самым проводить эксперименты с математической моделью.

 Математическое моделирование с получением количественных результатов при помощи ЭВМ получило название вычислительного эксперимента. Возможности вычислительного эксперимента часто превышают возможности материального, натурного моделирования. В некоторых случаях удается провести вычислительный эксперимент тогда, когда натурный в принципе невозможен (ядерная физика, астрофизические исследования, поведение экономических систем).

Интуитивное моделирование – основано на построении мысленной копии объекта. Каждая наука стремится заменить интуитивное представление об изучаемых объектах формализованным, знаковым представлением. На этом пути перспективным является сочетание использования экспертных знаний специалистов и математических методов принятия решений.

 

Часть I. Линейное программирование

 

Глава 1. Линейные математические модели в экономических исследованиях

 

Экономические задачи

I. Задача объемного планирования

1. Содержательное описание

 Предприятие выпускает несколько видов продукции, при этом расходуется несколько типов ресурсов. Известны запасы ресурсов каждого типа, даны нормы расхода каждого ресурса на единицу каждой продукции и доход от единицы каждой продукции. Определить план производства, обеспечивающий наибольший суммарный доход.

2. Математическая модель

2.1. Исходные параметры

 – количество видов продукции

 – количество типов ресурсов

 – запасы ресурсов каждого вида

– нормы расхода i-го ресурса на единицу j-ой продукции

 – доход от единицы j-ой продукции

2.2. Управляемые параметры (варьируемые параметры)

– объемы производства каждого вида продукции

– вектор управляемых параметров (решение, допустимое решение – план)

2.3. Ограничения модели

Чаще всего ограничения в экономических задачах отражают соотношения материального баланса (расход ресурса не может превосходить его запасов).

Пусть  –  расход i-го ресурса на произвольном плане .

3. Формулировка цели принятия решений

Сформулируем критерий оптимальности. Пусть – суммарный доход на произвольном плане . Требуется найти его наибольшее значение

Таким образом, задача объемного планирования ставится как задача определения такого набора управляемых параметров

,

 на котором достигается наибольшее значение критерия

(1)     (2)   (3)

          

при условии

 

II. Задача о диете

1. Содержательное описание

Имеется несколько видов продуктов. Определить рацион питания (количество каждого вида продукта) так, чтобы были обеспечены нижние границы норм потребления некоторых питательных веществ, а стоимость рациона была наименьшая. Цены за единицу каждого продукта известны.

2. Математическая модель

2.1. Исходные параметры

 – количество видов продукта

 – количество контролируемых питательных веществ

 – нормы потребления каждого питательного вещества (нижние границы)

– содержание i-го питательного вещества в единице j-го продукта

– цена каждого продукта

2.2. Управляемые параметры (варьируемые параметры)

 – объем закупок каждого продукта

 – вектор управляемых параметров (решение, план закупок или рацион)

2.3. Ограничения модели

Потребление каждого питательного вещества не должно быть ниже нормы.
Пусть – содержание i-го питательного вещества в произвольном рационе .

  Нужно выбрать наилучшее решение.

3. Формулировка цели принятия решений

Сформулируем критерий оптимальности. Пусть – стоимость произвольного рациона . Требуется найти рацион наименьшей стоимости

Таким образом, задача о диете ставится как задача определения такого набора управляемых параметров

,

на котором достигается наименьшее значение критерия

(4)     (5)   (6)

при условии