Вывод уравнения совершенного гидравлического прыжка

РИСУНОК(лекции)

В основу вывода совершенного гидравлического прыжка положено уравнение изменения количества движения . Примем русло на участке гидравлического прыжка призматическим и горизонтальны. Что исключает влияние собственного веса воды G. Примем Fτ≈0 в виду относительно малой длины отсека 1-2. при рассмотрении принимаем фиксированный отрезок времени Δt=1с. Секундное изменение количества движения в контрольном сечении 1-1 и2-2 с учетом неравномерности распределения скоростей, учитывающих коэффициент Буссинеска:

Где Qρ=m – масса жидкости, прошедшей через сечение 1-1 и 2-2 за единицу времени. Плавно изменяющееся движение в сечениях 1-1 и2-2 дает основание заменить действие давления выделенного отсека слева и справа эпюрами избыточного давления:

Р₁=Р_манw₁=γz₀₁w₁

Р₂= Р_манw₂=γz₀₂w₂. подставляем в исходное уравнение, учитывая знаки: + Р₁ и – Р₂.

Разделим выражение на γ=ρg и преобразуем:

Структура обеих частей идентична, т.е. уравнение симметричное и говоря о понятии прыжковой функции:

.

8. Прыжковая функция, и ее исследование.

Уравнение совершенного прыжка имеет вид:

Структура обеих частей идентична, т.е. уравнение симметричное и говоря о понятии прыжковой функции: . 

РИСУНОК(график)

Отсюда мы получает П(h”)=П(h’). При уменьшении глубины(h->0) площадь живого сечения w->0 и координата его центра тяжести z01->0, получаем  и , Пк->∞ - кривая прыжковой функции асимптотически стремится к оси абсцисс. При увеличении глубины: h->∞

w->∞,  и , Пк->∞ - верхняя ветвь с ростом глубин уходит в бесконечность. Две ветви смыкаются образуя минимум П(h)=min.

Отсюда: уменьшение первой сопряженной ведет к увеличению второй. Минимум прыжковой функции соответствует критической глубине.