Интегрирование ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Частным случаем рассмотренных выше линейных однородных дифференциальных уравнений являются ЛОДУ с постоянными коэффициентами.

Пусть дано ЛОДУ второго порядка

Где p и q постоянны.

Для нахождения общего решения уравнения достаточно найти два его частных решений, образующих фундаментальную систему.

Будем искать частные решения уравнения в виде

где k – некоторое число. Дифференцируя эту функцию 2 раза и подставляя выражения для у, у’ и у’’ в уравнение , получим: , т.е.

, или =0 ().

Уравнение =0 () называется характеристическим уравнением ДУ .

При его решении возможны следующие три случая

Случай 1: Корни уравнения и уравнения =0 (). Действительные и различные: (D = - q > 0).

В этом случае частными решениями уравнения являются функции =

и = . Они образуют фундаментальную систему решений (линейно независимы), т.к. их вронскиан

W(x) = =

Следовательно, общее решение уравнения ,

Случай 2: Корни и характеристического уравнения =0 (), действительные равные: .

В этом случае имеем лишь одно частное решение .

Покажем, что наряду с решением уравнения будет и .

Действительно, подставим функцию в уравнение . Имеем: +

Но , т.к. есть корень уравнения =0 (); , т.к. по условию .

Поэтому , т.е. функция является решением уравнения .

Частные решения и образуют фундаментальную систему решений: . Следовательно, в этом случае общее решение ЛОДУ имеет вид

Случай 3: Корни и уравнения =0 () комплексные: ,

В этом случае частными решениями уравнения являются функции и .

По формулам Эйлера:

Имеем

Найдем два действительных частных решения уравнения . Для этого составим две линейные комбинации решений для и :

и .

Функции и являются решениями уравнения , что следует из свойств решений ЛОДУ второго порядка. Эти решения и образуют фундаментальную систему решений, т.к. . Поэтому общее решение данного уравнения запишется в виде или