Регрессионный анализ факторного эксперимента

Этапы факторного анализа Вычислительный аспект факторного анализа связан с определением факторного отображения В, дисперсий характерных факторов и оценкой значений общих факторов. Оценка этих параметров производится на основании экспериментальных данных, полученных в ходе наблюдений над N объектами (индивидами). Результаты наблюдений представляются в виде матрицы исходных данных, аналогичной (11.1). По матрице Х вычисляется корреляционная матрица R. Затем начинаются этапы собственно факторного анализа. Первый этап – оценка общностей. Если общности оценены, то по формуле (11.5) можно оценить характерности, а следовательно, и матрицу W, которая является диагональной согласно предпосылкам факторного анализа. Заменяя диагональные элементы матрицы R на оценки общностей, получают матрицу , которая является информационной основой второго этапа выделения факторов. На этом этапе решают тем или иным способом матричное уравнение , получая в итоге ортогональную матрицу A. Возможно большое число матриц A, которые одинаково хорошо будут воспроизводить матрицу . Из них должна быть выбрана одна, что составляет содержание третьего этапа – вращения факторов. И, наконец, на последнем, четвертом, этапе оцениваются значения факторов для каждого объекта (индивида). На практике, однако, из-за большого объема вычислений часто ограничиваются первыми тремя этапами, причем первый и второй выполняются одновременно.

Выделение факторов. Выделение факторов предполагает установление числа и направления осей координат, соответствующих общим факторам, необходимым для отображения корреляции исходных переменных. С алгебраической точки зрения проблема факторов означает определение ранга матрицы А и оценивание ее элементов. Для решения задачи выделения факторов разработано достаточно много методов, однако основными в настоящее время следует признать два: метод главных факторов, наиболее широко употребляемый на практике, и метод максимального правдоподобия, имеющий прочный математико-статистический фундамент.

Метод главных факторов. Как следует из фундаментальной теоремы факторного анализа (11.3), . Приравняем вначале W нулевой матрице. Получим матричное уравнение (11.6)

Матричное уравнение (11.6) имеет множество решений: любое ортогональное преобразование Т, переводящее матрицу В в G, т.е. G = ВТ, удовлетворяет (11.6). Действительно, в силу ортогональности Т имеет место и, значит, . Подставляя выражение для В в (11.6), получаем

, поскольку T′T=I.

Как известно из линейной алгебры, ортогональное преобразование системы координат означает поворот системы как целого на некоторый угол вокруг начала координат. Выделяя некоторое предпочтительное направление и фиксируя тем самым угол поворота системы координат, можно обойти проблему неоднозначности решения системы (11.6).

Вернемся на время к методу главных компонент. Выбор осей координат здесь подчинен определенному требованию: каждая следующая ось ориентирована по направлению максимальной дисперсии в пространстве, ортогональном предыдущим главным компонентам. Матрица весовых коэффициентов А при этом составлена из собственных векторов ковариационной (корреляционной R) матрицы. Следовательно,

, (11.7)

где – диагональная матрицa с элементами, равными собственным значениям корреляционной матрицы. Умножая (11.7) на справа и учитывая ортогональность A, а значит , получаем: .

Обозначим через матрицу порядка , элементы которой равняются квадратному корню из соответствующих элементов матрицы Λ. Перейдем от A к . Выражение для R примет вид:

. (11.8)

Сравнивая (11.6) и (11.8), получаем, что в качестве оценки матрицы В можно взять матрицу .

Таким образом, матрица факторных нагрузок получается из матрицы, составленной из собственных векторов корреляционной матрицы исходных признаков, с последующим умножением элементов собственного вектора, отвечающего i -му собственному значению на .

Матрицы B и Q имеют разный порядок: у В и у Q, поэтому правильнее говорить, что оценкой будут первые m столбцов матрицы Q.

Посчитав матрицу W равной нулю, мы для оценки матрицы B воспользовались моделью главных компонент. Строго говоря, под методом главных факторов понимают способ расчета, принятый в методе главных компонент, но примененный к матрице (оценка общностей рассматривается ниже).

0ценка числа общих факторов.

…….

Метод максимального правдоподобия. В этом методе по выборочной корреляционной матрице исходных признаков ищутся состоятельные и эффективные оценки неизвестных параметров − элементов матриц В и W для генеральной совокупности. При построении функции максимального правдоподобия существенно используются предпосылки факторного анализа. Максимизация функции правдоподобия приводит к множественности результатов. Неоднозначность обходится требованием, чтобы матрица

(11.9)

имела диагональный вид. Это условие соответствует требованию метода главных факторов о взаимной ортогональности факторов и их ориентации по направлению максимума дисперсии.

Система (11.9) может быть приведена к виду, удобному для вычислений итерационным путем:

. (11.10)

Скорость сходимости итерационной процедуры является весьма медленной и зависит от начального приближения B и W.

В методе максимального правдоподобия проблема определения числа факторов также существует. Пусть расчеты по (11.10) проведены для m общих факторов. Для проверки гипотезы о существовании m общих факторов можно воспользоваться критерием

c степенями свободы.

В этой формуле – определитель матрицы корреляций, воспроизведенных с помощью m общих факторов. Если вычисленное значение критерия превышает табличное значение при выбранном уровне значимости, то необходимо выделить факторов больше, чем m, по крайней мере, m+ 1.