2018-02-14
635
Рассмотрим истечение жидкости из круглого отверстия диаметром d 0 в вертикальной тонкой стенке сосуда (рис. 8.1).
 |
Рис. 4.1
Рис. 8.1. Истечение жидкости из круглого отверстия
Стенка считается тонкой, если её толщина d < 0,2 d 0 и не влияет на условия истечения. Основной задачей расчета характеристик истечения является определение скорости истечения и расхода жидкости при следующих условиях:
1. Процесс истечения установившийся, т.е. p 1 = const.
2. Сжатие струи – полное и совершенное.
3. В сжатом сечении давление подчиняется гидростатическому закону распределения.
4. Скорости в верхних и нижних точках отверстия не отличаются между собой и коэффициент Кориолиса a = 1.
Для определения скорости истечения напишем уравнение Бернулли для сечений 1–1 и 2–2, учитывая, что плоскость сравнения проходит через центр тяжести отверстия, т.е. z 1 = z 2 = 0:
. (8.2)
Анализ уравнения (8.2) показывает, что р 0 в сжатом сечении можно принять равным атмосферному.
|
|
|
Потери напора между сечениями 1–1 и 2–2 определяются по формуле Вейсбаха:
, (8.3)
где 
– коэффициент сопротивления отверстия.
С учётом формулы (8.3) преобразуем уравнение (8.2) к виду:
. (8.4)
Решая уравнение (8.4) относительно 
, находим
. (8.5)
Преобразуем отношение 
, используя уравнение расхода для сечений 1–1 и с–с (см. рис. 8.1) в виде 
или 
. Умножив и разделив правую часть последнего равенства на 
, получим
.
Обозначив 
и 
, преобразуем формулу (8.5) к виду
. (8.6)
Введём обозначение
, (8.7)
где j – коэффициент скорости истечения, учитывающий потери скорости на местном сопротивлении (на острой кромке входного отверстия); 
– коэффициент сжатия струи для круглых отверстий, равный 0,64; 
– коэффициент, учитывающий влияние скорости потока перед входным отверстием на коэффициент скорости (при истечении из малых отверстий n ® 0).
С учётом обозначения (8.7), формула (8.6) принимает вид (индекс «с» опускается)
. (8.8)
При истечении холодной воды через малое отверстие обычно принимают j» 0,97 – 0,98; xвх» 0,06.
По коэффициенту скорости легко определить коэффициент сопротивления xвх:
.
Эти коэффициенты зависят от напора Н и, следовательно, от скорости истечения, вязкости жидкости, формы и размеров отверстия, а поэтому и от числа Рейнольдса. Обычно принимают j = f (Re).
|
|
|
Траектория полёта струи при истечении жидкости при небольших скоростях и небольших высотах падения, когда можно пренебречь сопротивлением окружающего струю воздуха и принять форму струи параболической, показана на рис. 8.2.
   |
Рис. 8.2
Без большой погрешности можно считать, что частица жидкости за сжатым сечением n - n движется по инерции: по оси x – равномерно, по оси z – равноускоренно, поэтому закон движения частицы жидкости можно записать в следующем виде:
(8.9)
Отсюда
.
Подставляя выражение t в формулу (8.9), получим
.
Отсюда
. (8.10)
Решая выражение (12.10) относительно коэффициента скорости, находим
. (8.11)
Чтобы определить j, надо измерить дальность полёта струи 
, высоту падения D z и напор Н.
Объемный расход жидкости равен произведению скорости в сжатом сечении на площадь живого сечения: 
.
Подставляя вместо Fс и V их значения, имеем:
.
Введём обозначение
, (8.12)
где 
– коэффициент расхода.
С учётом обозначений в формуле (8.12) получим
. (8.13)
Так как для малых отверстий коэффициент сжатия e = 0,64, а коэффициент скорости j = 0,97, то, в соответствии с формулой (8.12),
m = je = 0,64×0,97 = 0,62.
Учитывая зависимость e от 
, можно найти также зависимость m = f (n, xвх).
При истечении из малых отверстий n ® 0 из формулы (8.12), находим
. (8.14)
В случае истечения из сосудов со свободной поверхностью формулы (8.8) и (8.13) записываются в виде:
; (8.15)
, (8.16)
где 
– высота уровня жидкости над центральным отверстием (при диаметре отверстия 
(см. рис. 8.2))
Опытами установлено, что коэффициент m существенным образом изменяется в зависимости от формы, размеров отверстия и от напора. Причём, с увеличением размеров отверстия коэффициент расхода уменьшается, а с увеличением напора уменьшается влияние размеров отверстия на коэффициент m.
При неполном сжатии коэффициент расхода определяется по формулам:
– для круглых отверстий;
– для прямоугольных отверстий.
Здесь 
– коэффициент расхода для аналогичного отверстия при полном сжатии; n – часть периметра отверстия, где отсутствует сжатие; p – часть периметра отверстия, где отсутствует сжатие.
Если сжатие несовершенное или неполное, то коэффициенты m и jопределяются с поправками по формуле Н. Е. Жуковского:
,
где 
– угол, определяемый из выражения:
.
Здесь Н – глубина погружения нижней кромки отверстия; а – глубина погружения нижней кромки отверстия.
При совершенном сжатии 
, что хорошо согласуется с опытными данными.
При истечении жидкости из затопленного отверстия, как показали многочисленные исследования, коэффициенты m, j, e будут мало отличаться от коэффициентов при истечении жидкости в атмосферу, но в качестве напора будет действовать разность напоров
Н 1– Н 2 (рис. 8.3) при р 1 = р 2.
Рис. 8.3
Расчётные формулы имеют вид:
(8.17)
Если давление на свободной поверхности резервуаров не равно атмосферному (рис. 8.3), т.е. р 1 > p 2 > p атм, то расчётными формулами будут следующие:
|
|
|
(8.18)
