Ламінарний плин рідини в трубах

Для встановлення закону розподілу швидкостей по перетині при ламінарному режимі розглянемо потік рідини в горизонтальній круглій трубі радіусом (рис. 22, а, б), що знаходиться в сталому рівномірному русі. Виділимо в цьому потоці навколо його осі обсяг рідини у виді циліндра довжиною і радіусом і спроектуємо всі діючі на нього сили на вісь потоку. При сталому рівномірному русі сума проекцій цих сил буде дорівнює нулю . Так, як. лінії дії і рівнобіжні, a – нормальна до осі потоку, то тому .

Як видно з рис. 22, а, , де і – тиск в перетинах і .

Відповідно до рівняння (8) , де – бічна поверхня циліндра; знак мінус прийнятий тому, що зі збільшенням відстані від осі потоку швидкість часток рідини зменшується. Отже, .

Підставимо значення і з отриманих виражень у рівняння рівноваги циліндра . Зробивши в рівнянні скорочення і розділивши перемінні, одержимо , чи після інтегрування Для визначення постійної інтегрування задамося початковими умовами: при тобто у стінки труби, унаслідок прилипання часток рідини . Тоді , відкіля . Підставляючи значення , одержимо закон розподілу швидкостей по перетині круглої труби при ламінарному режимі руху,

(81)

При , тобто на осі труби ,

(82)

Так, як. рівняння (81) є рівнянням параболоїда обертання з вершиною, що лежить на осі труби, то при ламінарному режимі руху епюра швидкостей по перетині буде мати форму квадратичної параболи (рис. 22, в). Знаючи закон розподілу швидкостей по перетині, можна обчислювати аналітично витрату і середню швидкість потоку. Виділимо в поперечному перерізі потоку елементарний живий перетин кільцевої форми радіусом і шириною (див. рис. 22, б).Елементарна витрата рідини через такий перетин буде . Підставимо в це рівняння замість його значення з рівняння (81), а замість його значення

Проінтегрував це вираження, одержимо

(83)

Середня швидкість потоку при ламінарному режимі руху може бути знайдена з рівняння (45) , якщо в нього замість підставити його значення з рівняння (83), а замість його значення ,