Закон гідравлічного опору. Коефіцієнт Дарси

З вираження (84) можна, знаючи середню швидкість рідини при ламінарному режимі плину в трубі, можна знайти втрату тиску на тертя на ділянці

.

Питома втрата тиску на подолання тертя (віднесена до одиниці сили ваги 1 кг рідини)

 чи .                                        (91)

Отримане рівняння виражає закон гідравлічного опору при ламінарному режимі руху рідини. Це вираження зветься формулою Пуазейля, французького лікаря і фізика.

Перетворимо (91), помноживши чисельник і знаменник на

                 (92)

Порівнюючи дане вираження з (78), одержимо коефіцієнт Дарсі  для круглої труби

                                                                                           (93)

Однак експериментальні дослідження, проведені в останні роки, показують, що фактичне значення  може відрізнятися від теоретичного, обумовленого з (93). У загальному випадку , де  може мати значення . Для мастилопроводів гідроприводів приймають .

Формула (92) має ім'я Дарсі-Вейсбаха, чи називається I водопровідною формулою і виражає втрати напору в трубі у функції середньої швидкості рідини, що протікає.

Оскільки , де  – витрата рідини, то

                                                  (94)

Ця формула називається II водопровідною формулою і виражає втрати напору у функції витрати рідини в трубі.

Звертаємо увагу на те, що хоча для розрахунку втрат при ламінарному плині користуються, в основному, формулами (92) і (94), куди входить швидкість (чи витрата) у другому ступені, у дійсності втрати напору пропорційні швидкості (чи витраті) у першому ступені, як це випливає з формули (91) Пуазейля. Справді, коефіцієнт  у формулах (92) і (94) містить у знаменнику величину , а виходить, і швидкість. Після скорочення виходить швидкість у першому ступені.

Отже, втрати напору при ламінарному плині є лінійною функцією швидкості (чи витрати) рідини.

Втрати напору при турбулентному плині обчислюють також по формулі Дарсі-Вейсбаха, але коефіцієнт утрат на тертя  визначають не формулою (93).

Велике значення для визначення втрат на тертя при турбулентному плині має поняття шорсткості. Внутрішня поверхня труб (і будь-яких інших магістралей для плину рідини) має мікро нерівності, абсолютну величину яких  називають абсолютною шорсткістю, а її відношення до діаметра  – відносною шорсткістю. Так, наприклад, абсолютна шорсткість для деяких видів труб така: сталеві безшовні труби нові і чисті – , сталеві безшовні труби після декількох років експлуатації – , нові сталеві зварні труби – , сталеві зварені труби помірковано заржавлені – , нові чавунні труби – , чавунні труби колишні у вживанні – , рукави і шланги – .

Якщо товщина ламінарного підшару покриває нерівності (), труби називають гідравлічно гладкими, у противної випадку – гідравлічно шорсткуватими. Та сама труба може бути гідравлічно гладкою чи шорсткуватою у залежності від товщини , а виходить, від швидкості потоку.

Коефіцієнт втрат при турбулентному плині залежить, в основному, від двох параметрів – числа Рейнольдса  і відносної шорсткості . Вплив цих параметрів на коефіцієнт втрат вивчали багато дослідників, з яких особливо слід зазначити І.І.Нікурадзе і Г.А.Муріна. І.І.Нікурадзе досліджував плин рідини в трубах зі штучно створеною “рівномірною” шорсткістю в широкому діапазоні шорсткостей  і чисел Рейнольдса (  ), Г.А.Мурін – у працях із природною, “нерівномірною” шорсткістю. Результати дослідів І.І.Нікурадзе показані на графіках рис. 25, побудованих у логарифмічних координатах.

При ламінарному плині зв'язок між  і  визначається залежністю  (графік – пряма I). При турбулентному плині і гідравлічно гладких трубах зв'язок між  і  визначається

при  формулою Блазіуса (графік – пряма II):

                                                                                    (95)

При  зручна формула П. К. Конакова:

                                                                       (96)

У зоні III коефіцієнт  залежить як від числа Рейнольдса, так і від відносної шорсткості.

При турбулентному плині і гідравлічно шорсткуватих трубах (зона IV) коефіцієнт утрат  перестає залежати від числа , а є функцією тільки відносної шорсткості (так називана автомодельна зона) і може бути підрахований по формулі Нікурадзе-Прандтля

                                                                     (97)

Для визначення  у всій області турбулентного плину (для зон II, III і IV) може бути використана універсальна формула Альтшуля

                                                          (98)

Графіки, отримані Г.А.Муріним для труб із природною шорсткістю, відрізняються від графіків І.І.Нікурадзе тим, що в III зоні на них відсутні западини, тобто похила пряма ділянка плавно переходить у прямі горизонтальні ділянки IV зони.

Оскільки для IV зони  не залежить від  формула (97), з формули Дарсі-Вейсбаха (92) випливає, що втрати на тертя залежать від квадрата швидкості, тобто має місце квадратичний закон опору. Для II і III зон показник ступеня швидкості (у вираженні втрат) поступово зростає від  до .