Общие положения и определения

 

Кинематика жидкости - раздел гидромеханики, в котором движение жидкости и газа изучается вне зависимости от действующих сил.

В этом разделе устанавливаются связи между координатами жидких частиц, их скоростями, ускорениями и иными параметрами, а также закономерности их изменения во времени.

Кинематика жидкости существенно отличается от кинематики твердого тела. Если отдельные частицы твердого тела жестко связаны между собой, то в движущейся жидкости такие связи отсутствуют. В процессе движения изменяются во времени как взаимные положения жидких частиц, так и их форма. Положение жидкой частицы определяется координатами некоторой точки, выбранной произвольно в пределах частицы. Эта точка называется полюсом.

Различные точки частицы имеют различные скорости, поэтому под скоростью жидкой частицы понимают скорость выбранного полюса. В общем случае движение жидкости можно считать определенным, если известны движения всех частиц, т.е. положение каждой частицы задано как функция времени.

Существуют два способа описания движения жидкости, разработанные, соответственно, Лагранжем и Эйлером.

Способ Лагранжа находит применение при решении ряда специальных задач, например, при расчете волновых движений.

Способ Эйлера применим и удобен для большего круга задач, решаемых в технической гидромеханике. В этом способе движение жидкости описывается функциями, выражающими изменения скоростей в точках некоторого неподвижного участка, выбранного в пределах потока. В данный момент времени в каждой точке этого участка, определяемой координатами х, у, z, находится частица жидкости, имеющая некоторую скорость V (скорость полюса). Эта скорость называется мгновенной местной скоростью.

Совокупность мгновенных местных скоростей представляет векторное поле, называемое полем скоростей. В общем случае поле скоростей изменяется во времени и по координатам:

V_x = f (x, y, z, t);

V_y = f (x, y, z, t);                                    (3.1)

V_z = f (x, y, z, t).

Переменные х, у, z и t называются переменными Эйлера.

Течение жидкости может быть установившимся (стационарным) или неустановившимся (нестационарным).

При установившемся движении течение жидкости, неизменное во времени, т.е. время t в уравнениях (3.1) отсутствует.

Векторными линиями поля скоростей является линия тока.

Линия тока - кривая в потоке движущейся жидкости, в каждой точке которой в данный момент времени вектор местной скорости направлен по касательной в этой точке (рис.3.1).

Как следует из определения, составляющие скорости, нормальные к линии тока, в любой точке этой линии равны нулю. Уравнение линии тока определяется из условия совпадения направления касательной к линии тока с направлением вектора местной скорости в каждой точке.

Направляющие косинусы (косинусы углов касательной к линии тока с осями координат) равны

 и ,                             (3.2)

где и  - проекции элемента линии тока  на оси координат.

 

Рис. 3.1. Схема к определению линии тока

 

Направляющие косинусы вектора скорости равны

.                                      (3.3)

Тогда на линии тока имеем

                (3.4)

или

.                                  (3.5)

Отсюда, дифференциальные уравнения линий тока для данного момента времени

.         (3.6)

Здесь t рассматривается как параметр, имеющий заданное значение.

Для установившегося движения жидкости уравнение линии тока имеет вид

.                (3.7)

Очевидно, что в условиях установившегося течения линия тока совпадает с траекторией частицы и не изменяет своей формы с течением времени.

Если в движущейся жидкости взять бесконечно малый контур и через все его точки провести линии тока, то образуется трубчатая поверх­ность, называемая трубкой тока.

Часть потока, заключенная внутри трубки тока, называется элементарной струйкой.

При стремлении поперечных размеров элементарной струйки к нулю она в пределе стягивается в линию тока. В любой точке трубки тока в данный момент времени проходит единственная линия тока.

Из определения линии тока следует, что ни одна частица жидкости ни в одной точке трубки тока не может проникнуть внутрь струйки или выйти наружу. Трубка тока, таким образом, является как бы непроница­емой стенкой, а элементарная струйка представляет собой самостоя­тельный элементарный поток.

Живым сечением струйки называется сечение, нормальное к каждой линии тока в пределах трубки тока.

В силу малости живого сечения элементарной струйки местные скорости жидкости в его пределах можно считать одинаковыми.

При изучении движения жидкости используются также понятия смоченный периметр и гидравлический радиус.

Смоченным периметром называется длина линии, по которой жидкость в живом сечении соприкасается с твердыми поверхностями, ограничивающими поток.

Смоченный периметр для напорного потока равен длине всего периметра сечения. Под напорным потоком здесь понимается такой поток, который ограничен твердыми поверхностями. Примером его может служить поток в трубе, все сечение которой заполнено движущейся жидкостью и стенки которой испытывают давление со стороны потока, отличающееся от давления окружающей среды.

В безнапорных потоках смоченный периметр составляет некоторую часть полного периметра. Примером безнапорного потока является поток в реке или канале, а также в трубе, работающей неполным сечением.

 

Рис. 3.2. Схемы безнапорных потоков

 

Для получения сопоставимых оценок потоков разной конфигурации и возможности описывать их едиными формулами используется понятие гидравлического радиуса.

Гидравлическим радиусом называется отношение площади живого сечения S к смоченному периметру χ

.                                        (3.8)