Теоретические сведения и расчетные соотношения

На вход демодулятора поступает помеха n (t) – аддитивный квазибелый гауссовский шум с равномерной спектральной плотностью мощности (СПМ) в полосе пропускания канала связи

                                                              (4.1)

Действие перемножителя на помеху можно определить, учитывая свойство преобразования Фурье: умножение на гармоническое колебание частоты f ₀ порождает две составляющие, спектры которых сдвинуты на + f ₀ и – f ₀ относительно спектра входного сигнала. В этом случае СПМ каждой из двух составных получает множитель ¼. Если гармоническое колебание имеет амплитуду , то множитель равняется ¼×()² = ½. Каждая из составляющих также является белым шумом, а сами составляющие независимы на любой из частот. Поэтому СПМ их суммы в интервале частот (– F_s /2 < f < F_s /2) вдвое больше СПМ каждой из них, и, таким образом, на выходах каждого из перемножителей имеет место квазибелый шум с СПМ

                                                                            (4.2)

Мощность шума на выходе ФНЧ легко определить, если известная его шумовая полоса F _ш.

С выхода ФНЧ берется отсчет помехи, и имеем z – случайную величину с гауссовским распределением вероятности. Ее дисперсия (мощность) равняется дисперсии помехи на выходе ФНЧ

                                                        (4.3)

Итак, на основе анализа прохождения сигнала и помехи через блоки демодулятора на входах решающего устройства имеем оценки координат переданного сигнала  = a_iс + x _c и  = a_is + x_s, где а_іс, a_is – числа, которые описывают переданный сигнал; x _с, x _s – независимые отсчеты помех в подканалах демодулятора со среднеквадратическим отклонением (СКО) . Условную плотность вероятности на косинусном входе решающего устройства при условии, что передавался сигнал s ₀, можно записать [4, разд. 11, разд. 12]

                                                                                  (4.4)

Алгоритм работы решающего устройства следующий. Вся плоскость, на которую нанесено сигнальное созвездие, разбивается на М непересекающихся областей. Границами областей должны быть совокупности точек, находящихся на равных расстояниях от ближайших сигнальных точек – это минимизирует вероятность ошибки при вынесении решения о номере переданного сигнала.

Знание сигнального созвездия и СКО помехи достаточно для расчета вероятности ошибки сигнала. Ошибка сигнала некоторого сигнала будет иметь место, если хотя бы одна из координат  попадет в область другого сигнала. Поэтому условием возникновения ошибки является x _с > d /2 или x _s > d /2, а вероятность ошибки [4,  разд. 12]

                                  (4.5)

где m – количество ошибочных переходов: для ФМ-4 m = 2, для КАМ-8 m = 3, для КАМ-16 m = 4, если учесть лишь переходы в ближайшие сигналы;

F _x(х) – функция распределения вероятности случайной величины x;

Q (z) – интеграл вероятности;

x – это x _с или x _s.

Так просто формулируется условие возникновения ошибок, когда линии, соединяющие сигнальные точки, параллельны оси а_c или оси a_s. Если линия, которая соединяет сигнальные точки, не параллельна ни одной из осей координат, то условие возникновения ошибки формулируется по-иному. Такая ситуация имеет место в случае ФМ-8. Анализ показывает, что в случае ФМ-8 вероятность ошибки сигнала определяется формулой (4.5), m = 2.

Если используется модуляционный код Грея, то в случае ошибки сигнала возникает ошибка лишь в одном разряде комбинации, которая передается этим сигналом. В таком случае вероятность ошибки двоичного символа (бита) определяется

                                                               р = Р _ош/ n,                                                                 (4.6)

где n определяется соотношением .