Определение области работоспособности

Областью работоспособности называется допустимая область изменения внутренних параметров, при нахождении в которой выходные параметры будут иметь значения, не выходящие за пределы наложенных на них ограничений, носящих название условий работоспособности.

Если условия работоспособности (ограничения на выходные параметры) в задании не оговорены, то следует исходить из самых слабых возможных ограничений. Таковыми, как известно, являются требования устойчивости, поскольку, если система становится неустойчивой, то это значит, что она перестает быть работоспособной.

Поэтому если из условия нахождения системы на границе устойчивости мы получим ограничения на варьируемые параметры, то это и позволит, по существу, определить одну из границ области работоспособности.

Другие границы этой области можно определить из других разумных соображений, например, из условия необходимости обеспечения передачи информационных сигналов между устройствами системы или из любых иных условий.

       Рассмотрим случай, когда выбран только один варьируемый параметр (это сильное упрощение реальных проектных ситуаций), причем для определенности пусть этим параметром является коэффициент усиления некоторого устройства, входящего в прямую цепь системы управления (например, электронного усилителя). Этот коэффициент усиления k_у входит как сомножитель в общий коэффициент передачи разомкнутой системы k (рис. 9).

Верхним значением диапазона изменения параметра k_у (условия работоспособности) будет такое его значение, при котором коэффициент k становится равным критическому значению k_кр, когда система управления оказывается на границе устойчивости.

В случае линейной системы критическое значение k_кр можно получить, например, приравняв нулю главный определитель Гурвица. Как известно, определитель Гурвица составляется из коэффициентов характеристического уравнения, которое, в свою очередь, можно получить, приравняв нулю знаменатель передаточной функции замкнутой системы.

Так, например, если система имеет 3-й порядок, то характеристическое уравнение имеет вид:

,                                                (10)

а соответствующий определитель Гурвица 3-го порядка приравняем нулю:

                                                     (11)

Искомый коэффициентвходит в коэффициенты уравнения а₀ и а₁. Раскрывая определитель, можно найти значение k_кр и затем, поделив его на другие сомножители, входящие в коэффициент передачи разомкнутой системы наряду с k_у, получить критическое значение:

                                            (12)

При k_у = k_{у кр} система находится на границе устойчивости, следовательно, при k_у < k_{у кр} система будет устойчива.

Поскольку в нашем примере варьируемый параметр всего один, то область работоспособности в этом частном случае представляет собой отрезок значений на действительной прямой, т.е. диапазон значений.

Итак, верхнее значение диапазона изменения параметра k_у = k_{у кр}.

Нижнее значение диапазона определим из условия обеспечения передачи информации от устройства к устройству: неразрывности прямой цепи управления. Из этого условия следует, что коэффициенты передачи всех устройств, в том числе и усилителя, должны быть больше нуля. Если хотя бы один из них будет равен нулю, произойдет разрыв цепи, и информация не пройдет на выход системы.

Исходя из этого нижнее значение диапазона: k_у =0.

В результате получаем диапазон изменения варьируемого (управляемого) параметра k_у:

                              (13)

       Чрезвычайно важно учесть запас устойчивости, т.е. отступить от границы устойчивости на некоторую величину, как раз и составляющую этот запас: 5-7% от величины диапазона варьируемого параметра будет вполне достаточно на предварительном этапе проектирования.

Варианты с одним единственным варьируемым параметром являются, как уже говорилось, очень сильно упрощенными. В этом случае задача многомерной параметрической оптимизации сводится к одномерной, и в дальнейшем результаты поиска экстремума целевой функции могут быть проверены с помощью одного из известных методов одномерной оптимизации, например, таких как: метод дихотомического деления, метод золотого сечения, метод чисел Фибоначчи или метод полиномиальной аппроксимации.

Разумеется, что не обязательно выбирать в качестве варьируемого параметра именно коэффициент усиления усилителя: в зависимости от конкретной САР это может быть любой параметр, но его выбор в качестве варьируемого должен быть обоснован. Кроме того, возможны варианты с двумя и более варьируемыми параметрами. Такие варианты рассматриваются как усложненные, что учитывается при защите и оценке курсовой работы.