Критерии оптимальности

Критерии оптимальности, или целевые функции формируются, как правило, на основе выходных параметров как функционалы от переменных системы.

3.8.1. Широко распространенный критерий под названием «среднеквадратическая ошибка» (СКО) задается выражением:

(14)

Здесь ε – ошибка системы, т.е. разность между задающим (управляющим) входным воздействием и сигналом обратной связи.

По существу СКО является интегральной оценкой качества переходных процессов, которая позволяет с помощью одного числа – значения указанного интеграла от квадрата ошибки – оценить отличие исследуемого переходного процесса от идеального повторения единичного ступенчатого воздействия (рис. 9). Геометрическая интерпретация интеграла – это площадь под соответствующей кривой. На рисунке последовательно показаны графики кривых: а) выходной (регулируемой) величины y(t); б) сигнала ошибки ε(t) =1[ t ]- y(t); в) модуля ошибки | ε(t) |; г) квадрата ошибки ε²(t). В качестве характеристики отклонения выходной величины y(t) от единичной ступеньки модуль ошибки (рис. 9в) является идеальной интегральной оценкой и также используется при анализе и синтезе автоматических систем. Однако наибольшее распространение получила оценка СКО.

Заметим, что возведение ошибки в квадрат позволяет достичь той же цели, что и операция взятия модуля: получить неотрицательную функцию. После этого взятие определенного интеграла от такой функции дает объективную оценку близости переходной функции системы к единичному ступенчатому воздействию, только масштаб получаемых оценок в случаях 9в) и 9г) будет разный, а суть остается единой. А вот если взять интеграл непосредственно от функции ошибки (рис. 9б), не беря модуль или не возводя ее в квадрат, то оценка качества переходного процесса не получится, т.к. функция ε(t) знакопеременная. По этой причине при взятии интеграла площади под отрицательными полупериодами подынтегральной функции («горбушками») будут вычитаться из площадей положительных «горбушек», а значит, объективной характеристики отличия переходной функции на выходе от единичной ступеньки на входе получить не удастся.

Как правило, при моделировании используется приближенное выражение:

(15)

где Т – конечный интервал времени, на котором анализируется переходный процесс. Поделив полученную квадратичную оценку на величину этого интервала, приходим к среднеквадратичной оценке, или СКО.

3.8.2. В качестве критерия оптимальности (целевой функции) можно использовать непосредственно какой-либо выходной параметр. В этом случае мы имеем дело с однокритериальной оптимизацией. Поскольку в настоящей курсовой работе предлагается использовать всего два выходных параметра: 1) перерегулирование σ и 2) время регулирования Т_р, то следует поочередно применить именно эти два критерия.

В первом случае в соответствии с выражением (9) следует минимизировать критерий I_σ: (16)

Для астатических САР в этом выражении y_уст=1/k_ос=const, т.е. является постоянной величиной, не зависящей от варьируемых параметров (если только варьируемым не является коэффициент обратной связи). При этом минимизировать перерегулирование возможно только за счет максимального значения выходной (регулируемой) переменной y_max.

Рис. 9. К понятию среднеквадратической ошибки

Тогда будет минимизироваться разность в числителе выражения (16), причем минимальное значение этой разности есть нуль.

Статической САР с жесткой обратной связью соответствует значение (покажите это!):

. (17)

Из этого выражения очевидно, что если варьируются коэффициенты усиления устройств, входящих в прямую цепь управления, то будет изменяться и равный их произведению коэффициент передачи k, а следовательно и y_уст. Значит, в этом случае нужно формировать критерий полностью в соответствии с выражением (16) и минимизировать именно его.

Во втором случае, когда критерием оптимальности является быстродействие системы I_Тр, следует воспользоваться подпрограммой определения времени регулирования Т_р (времени переходного процесса), встроенной в ПК «МВТУ 3.7».

3.8.3. Аддитивный суперкритерий формируется в соответствии с выражением (1).

Считая размерные коэффициенты γ_i =1, получим упрощенное выражение:

(18)

где α_i – весовые коэффициенты, задающие вклад каждого из частных критериев в суперкритерий.

В настоящей курсовой работе частными критериями являются вышеупомянутые критерии I_σ и I_Тр, так что . Если допустить, что α₁=α и α₂=1-α₁, т.е. осуществить нормирование, то окончательно получим: