Интерференция волн. Когерентные источники

Волновая и геометрическая оптика

 

Великий Новгород

2003

 

УДК 535.12                                                          Печатается по решению

                                                                                                  РИС НовГУ

ВОЛНОВАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА: Сб. лаб. работ по общему курсу физики / Сост. Н.А. Петрова, В.В, Шубин, НовГУ им. Ярослава Мудрого. – Великий Новгород, 2000. – 76 с.

В сборнике приведены описания восьми лабораторных работ по волновой и геометрической оптике. В каждом описании рассматриваются основные понятия, методика и порядок выполнения лабораторных работ, вопросы для самоподготовки.

Сборник предназначен для студентов очной и заочной форм обучения, изучающих общий курс физики.

Рецензент: А. И.Георгиев,

                                                                              канд. физ.-мат. наук,

                                                                              доцент

 

© Новгородский государственный
университет, 2000

© Н.А. Петрова, В.В, Шубин
составление, 2000

 

 

ВВЕДЕНИЕ

Лабораторные работы играют существенную роль в изучении курса физики, так как дают возможность не только наблюдать то или иное физическое явление, но и лучше его понять и вникнуть в его суть. Для осмысленного выполнения лабораторной работы необходима предварительная подготовка. В качестве пособия для подготовки студентов к выполнению лабораторных работ по волновой и геометрической оптике может быть рекомендован настоящий сборник. В него включены лабораторные работы по интерференции, дифракции, поляризации света и геометрической оптике. Теоретические сведения по каждой теме приводятся в одной из работ, поэтому, если студент выполняет одну из работ по данной теме, ему необходимо посмотреть теоретический материал в той работе, где он приведен (ссылка на это имеется). В каждой работе указаны вопросы для самоподготовки.

Настоящий сборник может быть рекомендован студентам НовГУ всех специальностей дневной и заочной форм обучения, где изучается физика.

 

Лабораторная работа «Определение длины световой волны при помощи интерференционных колец»

Цель работы

Целью данной работы является изучение явления интерференции и определение длины волны с помощью интерференционных колец.

Интерференция волн. Когерентные источники

Свет, испускаемый любым источником, представляет собою совокупность поперечных электромагнитных волн, распространяющихся в пространстве со скоростью

,                                                                  

где С – скорость света в вакууме;

   n – показатель преломления среды.

При соответствующих условиях наложение волн сопровождается перераспределением энергии волн в пространстве, проявляющееся в образовании устойчивых максимумов и минимумов в определенных точках пространства. Это явление называется интерференцией волн.

Рассмотрим, при каких условиях возможна интерференцияволн.Пусть в некоторой точке пространства О происходит наложение электромагнитных волн, испускаемых двумя источниками S₁ и S₂ (рисунок 1), у которых вектора напряженности электрического поля параллельны.

Рисунок 1

Уравнение первой волны:

,                              (2)

второй:

,                           

где w₁ и w₂ – круговые частоты;

   r₁ и r₂ – расстоянияот источников до точки наблюдения;

   ;  – волновые числа,

   j₀₁, j₀₂ – начальные фазы.

Фаза первой волны:

,                                                  

второй:

.                                                

Пользуясь методом векторных диаграмм, найдем амплитуду результирующего колебания. Выберем ось отсчета ON (рисунок 2), построим амплитудные вектора Е₀₁ и Е₀₂, составляющие углы j₁ и j₂ с осью отсчета,

Рисунок 2

и найдем результирующуюамплитуду Е₀:

,                       (4)

где Δφ –разность фаз:

.  (5)

Из соотношений (4) и (5) следует, что результат наложения колебаний не будет зависетьот времени, если разность фаз не зависитотвремени; т.е.

Δφ = const.

А это осуществимо при условии равенства частот и постоянства разности начальных фаз:

w₁ = w_2,                                                                  (6)

и j₀₂ – j₀₁ = const                                                 (7)

Волны, удовлетворяющие указанным условиям, называют когерентными и источники тоже называют когерентными.

Если начальные фазы когерентных волн одинаковы, то разность фаз равна:

.                                                    (8)

Максимальноеусиление колебаний будет наблюдаться в тех точках пространства, для которых выполняется условие:

,                                        (9)

где m = 0, 1, 2, 3, …

В этих точках результирующая амплитуда колебаний равна сумме амплитуд:

Е_о = Е₀₁ + Е₀₂.                                                        (10)

Учитывая, что волны могут распространяться в средах с различными показателями преломления и что волна в данной среде связана с длиной волны в вакууме соотношением:

, ,                                                      

для разных сред, в которых распространяются волны, получим следующее выражение для разности фаз:

.                                         (11)

Произведение геометрического пути r на показатель преломления среды n, в которой волна распространяется, называют оптическим путем волны. Разность оптических путей называют оптической разностью хода δ. Из соотношения (11) следует, что максимальное усиление колебаний происходит в тех точках пространства, для которых оптическая разность хода равна целому числу волн или четному числу полуволн:

.                                 (12)

Наибольшее ослабление волн (минимум) наблюдается в точках пространства, для которых разность фаз равна нечетному числу π:

,                         (13)

а оптическая разность хода равна нечетному числу полуволн:

,                                   (14)

где m = 0, 1, 2, …

Результирующая амплитуда колебаний в этих точках равна разности амплитуд:

.                                                      (15)

Если начальные амплитуды одинаковы, то в точках максимума результирующая амплитуда равна удвоенному значению амплитуды одной волны:

,                                                                 

а энергия в четыре раза больше энергии одной волны, так как энергия волны пропорциональна квадрату амплитуды. В точках минимума результирующая амплитуда равна 0, и энергия тоже равна 0. Действительно произошло перераспределение энергии волн в пространстве.

Для некогерентных волн разность фаз является функцией времени, поэтому среднее значение энергии за период изменения фазы равно:

.              (16)

Или, так как <cosΔφ> = 0,

,                                                     (17)

т.е. в любых точках пространства, где происходит наложение волн, энергия равна сумме энергий этих волн.

При наложении света от двух независимых источников никогда не удается наблюдать явление интерференции вследствие того, что ни один реальный источник света не дает строго монохроматического излучения света атомами (или молекулами и ионами) вещества. Излучают свет возбужденные атомы, т.е. атомы, обладающие избыточной энергией. Продолжительность излучения ∆t не велика, порядка 10 ^–8 с, следовательно, излучение происходит в виде отдельных импульсов – цугов волн. Каждый цуг волн имеет ограниченную протяженность, равную:

∆r = c∆t ≈ 10 м                                                          

и не строго монохроматичен, а имеет некоторую ширину спектра ∆ν, связанную со временем излучения соотношением:

.                                                                    

Спустя некоторое время, 10 ^–8 ¸ 10 ^–9 с, атом может излучить новый цуг волн, фаза и направление колебаний которого отличаются от предыдущего. Поэтому когерентность существует только в пределах данного цуга. Время когерентности, т.е. время длительности цуга, всегда меньше времени излучения. Путь, проходимый волной за время когерентности, называемый длиной когерентности, тоже всегда меньше длины цуга.

Поэтому для получения когерентных световых волн имеется только одна возможность – каким-либо способом разделить свет, излучаемый каждым атомом источника. При этом необходимо, чтобы время запаздывания одной волны относительно другой в точкеих наложения (в точке наблюдения) не превышало времени когерентности, а оптическая разность хода – длину когерентности.

Кольца Ньютона

Когерентные световые волны (см. 1.2), можно получить путем отражения и преломления света на границе раздела двух сред. Поместим на поверхности плоскопараллельной пластинки плосковыпуклую линзу с большим радиусом кривизны (рисунок 3).

Рисунок 3

На линзу перпендикулярно ее плоской поверхности направлен луч SA.Он будет отражаться в точках А, В, С и D. В результате отражения появляются когерентные лучи, способные интерферировать. Наиболее отчетливую картину интерференции дают лучи, у которых наименьшая оптическая разность хода (см. 1.2), в данном случае это лучи, отраженные в точках В и С.

Так как радиус кривизны линзы велик, то можно считать, что лучи, падающие нормально к поверхности линзы, отражаются также вдоль нормали. Следовательно, в отраженном свете интерферируют лучи ВS и СS, а в проходящем SC и ВС. Обозначим отрезок ВС (расстояние между линзой и пластинкой) через l. Тогда оптическая разность хода лучей ВS и С S (т.е. отраженных лучей) будет равна:

,                                                         (18)

где 2l – геометрическая разность хода лучей ВS и СS;

   n – показатель преломления среды, заполняющей пространство между линзой и пластинкой;

   λ – длина волны падающего света.

Слагаемое λ/2 позволяет учесть изменение фазы волны при отражении от оптически более плотной среды (потерю полуволны), которое имеет место при отражении луча в точке С, если показатель преломления среды меньше показателя преломления пластинки. Если между пластинкой и линзой воздух, показатель преломления которого можно принять за 1, то оптическая разность хода будет равна:

.                                                             (19)

Максимальное усиление света наблюдается в случае, когда в оптической разности хода лучей укладывается четное число полуволн (см. 1.2), т.е.

,                                                       (20)

где m = 1, 2, 3,...,

а наибольшее ослабление – при нечетном числе полуволн:

,                                                (21)

где m = 1, 2, 3,...

Таким образом, в отраженном свете интерферирующие лучи максимально усиливают друг друга в тех местах, где толщина воздушного зазора удовлетворяет условию:

,                                                     (22)

где m = 1, 2, 3, …,

а максимально ослабляют при условии:

,                                                                (23)

где m = 1, 2, 3, …

Для всех точек, одинаково удаленных от точки соприкосновения линзы ипластинки (точки Q на рисунке 3), толщина воздушного зазора одна и та же и, следовательно, одна и та же оптическая разность хода лучей, отраженных от линзы и пластинки, поэтому интерференционная картина имеет вид концентрических темных и светлых колец. Их называют кольцами Ньютона. В центре колец при наблюдении в отраженном свете находится темное пятно, что соответствует толщине зазора l, равной нулю (см. соотношение (21)).

Найдем связь между радиусом кривизны сферической поверхности линзы, радиусом интерференционного кольца и длиной волны падающего света. Для этого рассмотрим сферическую поверхность, имеющую радиус R и соприкасающуюся с плоскопараллельной пластиной в точке Q (рисунок 4).

Рисунок 4

Пусть l – толщина зазора между линзой и пластинкой,

      r – радиус интерференционного кольца.

Из треугольников KED и QED следует, что

 

,                                                            (24)

откуда

.                                                            

Так как толщина зазорамежду линзой и пластинкой значительно меньше радиуса кривизны линзы, то l ² значительно меньше 2Rl и значением l ² в соотношении (24) можно пренебречь. Тогда для радиуса интерференционного кольца имеем:

 .                                                             (25)

Используя условие наблюдения темных колец (23), выразим толщину воздушного зазора l через длину волны и подставим в соотношение (25), тогда получим формулу для расчета радиуса темных интерференционных колец в отраженном свете:

.                                                          (26)

Из этой формулы можно было бы найти длину волны света, однако для определения длины волны света опытным путем формулу (26) использовать нельзя, так как на поверхности стекла всегда находятся пылинки, поэтому между линзой и пластинкой в точке контакта всегда имеется незначительный зазор величиной a, что приводит к дополнительной разности хода 2a. Вследствие этого максимальное ослабление света (минимум) наблюдается при условии:

.                                        (27)

Выразив 2l из (27) и подставив в формулу (25), получим:

.                                               (28)

Величину дополнительного зазора a практически измерить невозможно, но ее можно исключить следующим образом: вычесть из квадратарадиуса кольца с номером m квадрат радиуса кольца с номером k.

Тогда получим:

.                                          (29)

В полученном соотношении (29) неизвестная величина a отсутствует, и если известен радиус кривизны линзы, радиусы и номера интерференционных колец, то можно найти длину волны падающего на линзу света:

.                                                       (30)

Так как на опыте непосредственно измеряется диаметр интерференционных колец, а не радиус, то в формуле (30) следует радиусы колец выразить через диаметры d:

.                                                     (30а)

Радиус кривизны линзы можно найти также из соотношения (29), если линзу освещать светом с известной длиной волны:

                                                        (31)

или через диаметры колец:

.                                                     (31а)

Описание установки

Установка (рисунок 5) для наблюдения и измерения интерференционных колец состоит из вертикального измерительного микроскопа M, на предметном столике которого расположены стеклянная пластинка П и линза Л, источника света и светофильтров.

Рисунок 5

Между объективом микроскопа М и линзой Л помещена стеклянная пластинка АВ под углом 45° к поверхности линзы. На пластинку AB падает под углом 45° параллельный пучок света, прошедший через светофильтр. Отразившись от пластинки АВ, пучок света падает на линзу нормально. Лучи, отраженные от выпуклой поверхности линзы Л и пластинки П, проходят через пластинку АВ и попадают в объектив микроскопаМ. В результате интерференции этих лучей наблюдатель будет видеть светлые и темные кольца.