2018-02-14
5276
Плоская прозрачная дифракционная решетка представляет собой систему параллельных щелей одинаковой ширины “а”, находящихся на равных расстояниях друг от друга “b” и лежащих в одной плоскости. Она изготавливается путем нанесения непрозрачных штрихов на прозрачной пластине, либо шероховатых, рассеивающих штрихов на тщательно отполированной металлической пластине и применяется в проходящем или отраженном свете. Лучшие дифракционные решетки, изготавливающиеся в настоящее время, содержат до 2000 штрихов на 1 мм. Дешевые копии с таких решеток – реплики, получают на желатине или пластмассе.
Дифракционная картина при прохождении света через дифракционную решетку (систему из N щелей) значительно усложняется. Колебания, приходящие от разных щелей, являются когерентными, и для нахождения результирующей амплитуды и интенсивности необходимо знать фазовые соотношения между ними. Условие ослабления колебаний от одной и той же щели (51) является условием ослабления колебаний для каждой щели дифракционной решетки. Его поэтому называют условием главных минимумов:
|
|
|
.
Кроме того, происходит взаимодействие колебаний одной щели с колебаниями других щелей. Найдем условие, при котором происходит взаимное усиление колебаний, исходящих из всех щелей. Пусть на дифракционную решетку падает нормально монохроматический свет с длиной волны λ (рисунок 18). Как и в случае одной щели, из всех дифрагирующих волн рассмотрим волны, идущие в направлении угла α к нормали:
Рисунок 18
Оптическая разность хода для волн, исходящих из крайних точек соседних щелей (на рисунке 18 это 1 и 2, 2 и 3, 3 и 4), равна:
, (57)
где а + b = d – период решетки.
Разность фаз для этих же волн определяется соотношением:
. (58)
Для нахождения амплитуды результирующего колебания воспользуемся методом векторных диаграмм. Разобьем каждую щель на отдельные участки - зоны, параллельные краям щели. Амплитуду колебаний, создаваемых одним участком в точке наблюдения, обозначим DAi. Тогда амплитуда результирующих колебаний от всей щели будет равна:
Так как все щели одинаковы и освещаются параллельным пучком лучей, то в точке наблюдения амплитуды результирующих колебаний и от других щелей такие же, т.е.
Поэтому амплитуда 
результирующего колебания от всех щелей решетки равна их сумме:
. (59)
|
|
|
Но фазы результирующих колебаний соседних щелей отличаются на Dj (см. условие (58)), поэтому амплитудные вектора располагаются под углом Dj друг к другу, как это показано на рисунке 19, а.
Рисунок 19
Максимальной амплитуда будет в случае, когда амплитудные вектора от каждой щели расположатся вдоль одной прямой (рисунок 19, б),т.е. сдвиг фаз между результирующими колебаниями соседних щелей будет кратен 2p:
, (60)
где m = 0, 1, 2, …
Условие (60) является условием главных максимумов. Для оптической разности хода оно запишется так (см. (58)):
, (61)
где m – порядок главного максимума, принимает те же значения, что и в условии (60). Наибольший порядок максимума определяется из условия:
.
Амплитуда результирующих колебаний от всех щелей в этом случае будет равна:
где А1a – амплитуда результирующих колебаний от одной щели, идущих в направлении угла α, N – число щелей в решетке.
Так как интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды, то интенсивность главных максимумов пропорциональна квадрату числа щелей:
, (62)
где I1a – интенсивность колебаний, пришедших в данную точку экрана от одной щели.
Условие наибольшего ослабления колебаний от всех щелей, условие дополнительных минимумов, наблюдается в случае, когда амплитуда результирующих колебаний равна 0, т.е. когда суммарный сдвиг фаз колебаний соседних щелей кратен 2p:
, (63)
а оптическая разность хода волн от крайних точек соседних щелей равна:
, (64)
где n = 1, 2,..., N – 1, N + 1, …, 2N – 1, 2N + 1,..., mN – 1, mN + 1, … – порядок дополнительных минимумов, N – число щелей в решетке,
В условиях (63) и (64) n не может быть кратно числу щелей, так как они переходят тогда в условия главных максимумов. Из условий (63) и (64) следует, что между соседними главными максимумами наблюдается N – 1 дополнительный минимум и N – 2 дополнительных максимума.
Распределение интенсивности света, наблюдаемое на экране в фокальной плоскости линзы, стоящей за решеткой с четырьмя щелями, представлено на рисунке 20. Пунктирная кривая дает распределение интенсивности одной щели, умноженной на N 2, сплошная кривая соответствует распределению интенсивности для дифракционной решетки.
Рисунок 20
В центре картины наблюдается максимум нулевого порядка, вправо и влево от него симметрично располагаются последующие порядки максимумов. Ширина максимума нулевого порядка может быть определена так же, как и ширина максимума для одной щели (см. соотношение (56)):
,
где α – в данном случае угол, под которым наблюдается первый дополнительный минимум т.е.
.
Тогда
. (65)
Из соотношения (65) следует, что чем больше общее число щелей в решетке, тем уже максимум. Это относится не только к главному максимуму нулевого порядка, но и ко всем главным и дополнительным максимумам.
Некоторые главные максимумы не обнаруживаются, так как они совпадают с главными минимумами (в данном случае максимум второго порядка). При большом числе щелей в решетке интенсивность дополнительных максимумов настолько мала, что они практически не обнаруживаются, и на экране наблюдаются только главные максимумы, расположение которых зависит от постоянной решетки и длины волны падающего на решетку монохроматического света.
|
|
|
При освещении решетки белым светом вместо одиночных главных максимумов первого и более высокого порядков появляются спектры (рисунок 21).
Рисунок 21
Максимум нулевого порядка в спектр не разлагается, так как под углом α = 0 наблюдается максимум для любых длин волн. В спектре каждого порядка максимум для более коротких волн наблюдается ближе к нулевому максимуму, для более длинных – дальше от него.
С ростом порядка спектра спектры становятся шире.
Способность дифракционной решетки разлагать падающий на нее немонохроматический свет в спектр характеризуется угловой или линейной дисперсией. Угловая дисперсия решетки характеризуется углом, на который смещается максимум спектральной линии при изменении длины волны на единицу, т.е.
, (66)
где Δα – угол, на который смещается максимум при изменении длины волны спектральной линии на Δλ.
Угловая дисперсия зависит от порядка спектра m и постоянной решетки d:
. (67)
Формула (67) получена дифференцированием условия главного максимума, т.е. (61). Линейная дисперсия решетки определяется соотношением:
, (68)
где Dl – расстояние между двумя спектральными линиями, длины волн которых отличаются на Δλ.
Можно показать, что
,
где F – фокусное расстояние линзы, с помощью которой наблюдается дифракционная картина.
Другой характеристикой решетки является ее разрешающая спосо6ность. Она определяется отношением длины волны в данной области спектра к минимальному интервалу длин волн, разрешаемому с помощью данной решетки:
. (69)
По условию Рэлея две близкие спектральные линии считаются разрешенными (видны раздельно) (рисунок 22), если максимум одной совпадает с ближайшим минимумом другой, т.е.
|
|
|
,
отсюда получаем:
. (70)
Разрешающая способность зависит от порядка спектра и общего числа щелей в решетке.
Способность дифракционной решетки разлагать белый свет в спектр дает возможность использовать её в качестве диспергирующего устройства в спектральных приборах.
Рисунок 22
Зная постоянную решетки и измерив угол дифракции, можно определить спектральный состав излучения неизвестного источника излучения. В данной лабораторной работе дифракционная решетка используется для определения длины волны.
Описание установки
Для точного измерения углов дифракции в данной лабораторной работе используется прибор, называемый гониометром. Схематическое устройство гониометра приведено на рисунке 23.
Основные части гониометра: закрепленные на общей оси круг с делениями – лимб, коллиматор, зрительная труба и столик с дифракционной решеткой.
Коллиматор предназначен для создания параллельного пучка лучей. Он состоит из наружного тубуса, в котором закреплена линза Л, и внутреннего с входной щелью S. Ширина щели может регулироваться микрометрическим винтом. Щель располагается в фокальной плоскости линзы Л, поэтому из коллиматора выходит параллельный пучок лучей.
Рисунок 23
Зрительная труба также состоит из двух тубусов: наружного, в котором закреплен объектив М, и внутреннего с закрепленным в нем окуляром N. В фокальной плоскости объектива располагается визирная нить. Если прибор отъюстирован, то визирная нить и изображение освещенной щели коллиматора в поле зрения окуляра видны отчетливо.
Лимб разделен на 360 градусов, расстояние между градусными делениями разделено на две части по 30 минут каждая, т.е. цена деления лимба 30 минут. Для более точного отсчета углов имеется нониус Н, имеющий 30 делений, общая длина которых составляет 29 делений лимба. Поэтому точность деления нониуса Dl равна:
,
так как 
,
где l – цена деления лимба, n – число делений нониуса,
с – цена деления нониуса.
Если цена деления лимба 30 минут и нониус содержит 30 делений, то точность деления нониуса равна одной минуте.
Отсчет угла гониометра производят следующим образом. Отмечают число целых делений по шкале лимба напротив нуля нониуса (отсчет берется от нуля нониуса), затем делают отсчет по шкале нониуса: выбирают такое деление нониуса, которое совпадает с каким-либо делением шкалы лимба. Измеренный угол будет равен:
, (71)
где k – число делений по шкале лимба;
m – число делений нониуса до деления, точно совпадающего с делением шкалы лимба;
l – цена деления лимба;
Δl – точность нониуса.
Для случая, приведенного на рисунке 24, число делений лимба до 0 нониуса 19,5, что соответствует 19 градусам и 30 минутам.
Рисунок 24
Нуль нониуса не совпадает с делениями лимба, совпадает пятое деление нониуса. Следовательно, угол отсчета равен 19 градусам и 35 минутам.
На столике гониометра закреплена дифракционная решетка так, что ее плоскость, обращенная к зрительной трубе, совпадает с диаметром столика. Столик гониометра устанавливается таким образом, чтобы дифракционная решетка была перпендикулярна оси коллиматора. Щель коллиматора освещается ртутной лампой.
Если зрительная труба установлена по оси коллиматора, то в поле зрения видно изображение щели – главный максимум нулевого порядка. При смещении зрительной трубы вправо или влево можно увидеть сначала синюю, затем зеленую и желтую линии спектра первого порядка. При дальнейшем поворачивании зрительнойтрубы в ее полезрения окажутся в той жепоследовательности спектральные линиивторого порядка, затем третьего и т.д.
Для определения угла дифракции какой-либо волны необходимо навести визирную нить зрительной трубы на середину линии соответствующего цвета слева от нулевого максимума, закрепить винт, фиксирующий положение трубы, и произвести отсчет угла, например b1, затем, освободив винт, навести визирную нить зрительной трубы на середину линии такого же цвета в том же порядке спектра справа от нулевого максимумаи, закрепив винт, сделать отсчет угла b2. Разность отсчетов даст удвоенный угол дифракции (рисунок 25), а угол дифракции будет равен:
(72)
Рисунок 25
