double arrow

Дифракция от одной щели

Рассмотрим узкую щель шириной АВ = а, освещенную пучком параллельных монохроматических лучей с длиной волны λ (рисунок 12). Согласно принципу Гюйгенса – Френеля каждая точка щели, до которой дошел свет, становится источником вторичных волн, распространяющихся за щелью во всех направлениях. Дифрагирующие волны когерентны и при наложении интерферируют. Результат интерференции в виде периодического распределения интенсивности наблюдается на экране Э, расположенном в фокальной плоскости линзы Л, поставленной за щелью.

Все дифрагирующие волны, идущие от щели, можно мысленно разделить на системы параллельных лучей. Лучи каждой системы образуют с нормалью угол α и собираются на экране в побочном фокусе линзы Л. Результат наложения волн зависит от фазы колебаний, приходящих от каждой точки щели (см. раздел 1). Его можно оценить по оптической разности хода лучей, исходящих из крайних точек щели А и В (рисунок 12).

 


Рисунок 12

Для нахождения оптической разности хода построим фронт волны, дифрагирующей под углом α, т.е. в данном случае опустим перпендикуляр ВС из точки В на луч АС. Тогда оптическая разность хода крайних лучей будет равна:

,                                                       

так как  по построению.

Пусть разность хода между крайними лучами равна длине волны λ, т.е.

                                                            (50)

Можно показать, что в этом случае разность хода между лучом I, исходящим из крайней точки щели А, и лучом I¢, исходящим из средней точки щели О¢ (рисунок 13), равна , т.е. лучи I и I¢ встречаются на экране в противофазах и гасят друг друга:

.                                               


Рисунок 13

Для любого другого произвольного луча 2 левой половины пучка можно найти луч 2¢ правой половины такой, что разность хода между ними будет равна .

Построим произвольный луч 2, исходящий из точки D¢ щели. Он пересечет волновой фронт в точке D. Отложим от вершины угла В отрезок ВЕ, равный ОD, на фронте волны ВС и проведем через точку Е луч 2¢, параллельный лучу 2, а из точки О, лежащей посередине фронта волны ВС, прямую ОС¢, параллельную щели. Разность хода между лучами 2 и 2¢ будет равна:

.                                                          

Из равенства треугольников ВЕЕ¢ и ОDF следует, что ЕЕ¢ = FD, а OO¢ = D¢F по построению. Следовательно,

.                                         

Таким образом, все лучи левой половины пучка погасят лучи правой половины, и соответствующее место экрана будет темным (минимум), т.е. условие (50) является условием первого минимума. Можно показать, что если

,                                                  (51)

где k = 1, 2... kmax, то в соответствующих точках экрана будет также наблюдаться минимум. Число “k” называют порядком минимума. kmax – наибольший порядок минимума, он определяется из условия: . Первый дифракционный максимум наблюдается при разности хода между крайними лучами, равной

.                                                        (52)

В этом случае щель следует разделить на три части (рисунок 14).  пучка, исходящего из щели под углом α, погасятся, а  остается, появится максимум. Максимум последующих порядков наблюдается при условии:

,                                               (52a)


Рисунок 14

что соответствует

,                                                      (53)

где k = 1, 2, 3... kmax.

Этот вывод можно получить и пользуясь методом векторных диаграмм. Разобьем щель на узкие участки, параллельные краям щели (рисунок 15), такие, что можно считать каждый участок элементарным вторичным источником. Суммарное колебание от каждого участка имеет одинаковую амплитуду и отстает по фазе на одну и ту же величину от колебаний соседних участков, зависящую от угла дифракции α.


Рисунок 15

При α = 0 разность фаз колебаний соседних участков равна 0, и векторная диаграмма примет вид, соответствующий рисунку 16, а.


Рисунок 16

Амплитуда результирующего колебания Ао в этом случае равна алгебраической сумме амплитуд складываемых колебаний. Получаем максимум нулевого порядка.

Если разность фаз колебаний, соответствующая краям щели, равна p, то векторы располагаются на полуокружности длиной Ао. Результирующая амплитуда будет равна:  (см. рисунок 16, б). Получаем ослабление колебаний.

При разности фаз Dj между колебаниями от крайних точек щели, равной 2p, (разность хода ) амплитудные вектора располагаются на окружности длиной Ао, и результирующая амплитуда оказывается равной 0, что соответствует минимуму первого порядка (рисунок 16, в). Минимумы последующих порядков наблюдаются при условии:  или , где k = 1, 2, 3 … kmax, что соответствует условию (51.). Максимум первого порядка наблюдается при разности фаз между колебаниями от крайних точек щели 3p (разность хода ). Амплитудные вектора при последовательном их построении расположатся на полутора окружностях, общей длиной Ao, и диаметром, равным результирующей амплитуде колебаний:

                                                             (54)

(рисунок 16, г), т.е. амплитуда максимума первого порядка отличается от амплитуды максимума нулевого порядка в  раза, а интенсивность в  раза и составляет приблизительно 0,045 интенсивности максимума нулевого порядка.

Максимумы последующих порядков наблюдаются при условии:    (52) и . (53)

Амплитуда, соответствующая максимуму k порядка, определяется из соотношения:

,                                                     (55)

поэтому интенсивность отличается от интенсивности максимума нулевого порядка в  раз.

График распределения интенсивности на экране, расположенном в фокальной плоскости линзы, стоящей за щелью, имеет вид, приведенный на рисунке 17.

Расположение максимумов и минимумов зависит от соотношения между длиной волны падающего на щель света и шириной щели. Если а < l, то ни одного дифракционного минимума не наблюдается. Экран будет весь освещен: в середине освещенность больше, к краям меньше. Если а >> l, то дифракционные максимумы расположатся очень близко друг от друга, и дифракция практически не обнаруживается. Наиболее отчетливо дифракционная картина наблюдается при а > l, но сравнимой с длиной волны.


Рисунок 17

Примечание: более точный расчет дает такие соотношения:

 

Ширина X дифракционного максимума первого порядка на экране при малых углах дифракции будет равна:

                                 (56)

(см. рисунок 12).

При освещении щели белым светом максимумы различных волн наблюдаются под различными углами, белый свет разложится на составляющие, образуя дифракционный спектр.


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



Сейчас читают про: