Моменты инерции некоторых тел простейшей формы

СПРАВОЧНИК ПО ОСНОВНЫМ РАЗДЕЛАМ ФИЗИКИ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ СТУДЕНТОВ К ИНТЕРНЕТ- ЭКЗАМЕНУ.

I. МЕХАНИКА.

 Кинематика.

Поступательное движение	Вращательное движение
Путь S = ; Скорость v = dS/dt; Ускорение  a = dv/dt;	Угол j = ; угловая скорость w = dj /dt; угловое ускорение ε = dw /dt
Связь между параметрами поступательного и вращательного движения ;
Равномерное поступательное движение: = const; a = 0; S = t	Равномерное вращательное движение: w = const; ε = 0; j = wt
Равноускоренное движение: a = const ¹ 0; ; S = t + at2/2;	Равноускоренное движение: ε = const ¹ 0; ;

Тело, брошенное под углом a к горизонту со скоростью n_о.

Движение вдоль оси ОX:  = const;         x =  = (n_о. cos a) ×t;   

и ОY: = n_о. sin a - gt;  y =  

В верхней точке траектории:      = n_о. sin a - gt_о = 0;

Время движения t_о до верхней точки траектории:  t_о = n_о. sin a/ g

Время движения тела до падения:   t  =  2 t_о  = 2 n_о. sin a / g

Дальность полета вдоль оси ОX до падения: S =

Максимальная высота подъема тела: H =

Движение по окружности.

Тангенциальное (касательное) ускорение .

Центростремительное (нормальное) ускорение .

Модуль вектора полного ускорения .

Динамика

1. Поступательное движение	2. Вращательное движение
Сила	Момент силы , где  радиус-вектор – вектор от оси вращения в точку приложения силы
Импульс	Момент импульса
Масса тела m	Момент инерции тела J =
Основное уравнение динамики ,	Основное уравнение динамики ,
Работа	Работа
Кинетическая энергия	Кинетическая энергия

3.Направление момента силы M и момента импульса L находится по правилу правого винта (смотри пример на рисунке).

Моменты инерции некоторых тел простейшей формы

Тело	Положение оси	Момент инерции
Полый тонкостенный цилиндр радиусом R	Ось симметрии
Сплошной цилиндр или диск радиусом R	Ось симметрии
Тонкий прямой стержень длиной l	Ось перпендикулярна стержню и проходит через его середину
	Ось перпендикулярна стержню и проходит через его конец
Шар радиусом R	Ось проходит через центр шара	(2/5)
Теорема Штейнера:    I= Io + ma2, где a – расстояние между осями.

 

4.Уравнение динамики материальной точки массой m в неинерциальной К′ системе отсчета, вращающейся с постоянной угловой скоростью w вокруг неподвижной оси:     m a′ = F + mw² r + 2m [ ]

5.Уравнение динамики тела переменной массы (уравнение Мещерского):

m a = F + u dm/dt, где u- скорость отделения вещества относительно тела.

6.Уравнение динамики системы тел идентично уравнению движения материальной точки, вся масса которой сосредоточена в центре масс, к которому приложены и все действующие силы. Радиус-вектор R центра масс системы тел c общей массой m: R = . Если радиус-векторы тел   откладывать от центра масс системы, то R = 0 и =0.

7. Связь между силой и потенциальной энергией U частицы в поле: F = -

Движение планет и комет

1. Уравнение движения планеты массой   m₁ вокруг звезды массой m₂ под действием гравитационной силы: m₁ dv/dt = - (G m₁ m₂ / r³) .

2. Сила, действующая на движущуюся вокруг звезды планету, направлена вдоль радиус-вектора планеты, поэтому момент этой силы равен 0: M = [r F] = 0.

Т.к. M = dL/dt=0, то при движении планеты вокруг звезды момент ее импульса не меняется как по модулю, так и по направлению: L=[rmv]=mr²(dj/dt)=const.

3. Первая космическая скорость  - скорость, при которой тело может стать спутником планеты массой  и радиусом R. Находится из равенства гравитационной Gm /R² и центростремительной  сил. Для Земли =7,9 км/сек.

Вторая космическая скорость  = - скорость, при которой тело может преодолеть гравитационное притяжение планеты. Находится из равенства кинетической и потенциальной энергии тела. 

Законы Кеплера:

1. Каждая планета движется по эллипсу, в фокусе которого находится Солнце.

  2. Радиус-вектор планеты за равные промежутки времени Dt описывает одинаковые площади величиной DS = (L/2m) Dt, где m - масса планеты, L - ее момент импульса. 3. Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей их орбит.