Автокорреляция остатков

и
1	12,1	12,2251	-0,1251				0,01565
2	12,9	12,8445	0,0555	-0,1251	0,1806	0,032616	0,00308
3	13,7	13,4437	0,2563	0,0555	0,2008	0,040321	0,06569
4	13,9	14,0227	-0,1227	0,2563	-0,379	0,143641	0,015055
5	14,5	14,5815	-0,0815	-0,1227	0,0412	0,001697	0,006642
6	15,1	15,1201	-0,0201	-0,0815	0,0614	0,00377	0,000404
7	15,7	15,6385	0,0615	-0,0201	0,0816	0,006659	0,003782
8	16,1	16,1367	-0,0367	0,0615	-0,0982	0,009643	0,001347
9	16,6	16,6147	-0,0147	-0,0367	0,022	0,000484	0,000216
10	17,1	17,0725	0,0275	-0,0147	0,0422	0,001781	0,000756
						0,240612	0,112623

С помощью формулы (7) рассчитываем d – статистику:

Вычисленное значение d сравнивается с интервалами, найденными в соответствии со значениями  и  (приложение 2). Здесь п – количество наблюдений, т – число факторов,  – уровень значимости. В нашем случае критические значения статистики Дарбина-Уотсона при 5%-ном уровне значимости, то есть при =0,05, равняются:  и .

Таблица 7 – Расчет интервалов

Принимаем гипотезу о существовании положительной автокорреляции	Зона неопре-делен-ности	Принимаем гипотезу об отсутствии автокорреляции	Зона неопре-делен-ности	Принимаем гипотезу о существовании отрицательной автокорреляции
0		2		4
0                  0,88		1,32  2      2,68		3,12                  4

Из таблицы 7 видим, что d - статистика удовлетворяет неравенству:

1,32 < 2,136 < 2,68,

значит принимаем гипотезу об отсутствии автокорреляции остатков.

Замечание. Если значение d-статистики удовлетворяет неравенствам   или , то при выбранном уровне значимости не возможно сделать вывод о наличии или об отсутствии автокорреляции остатков, необходимо дальнейшее исследование.

МУЛЬТИКОЛЛИНЕАРНОСТЬ

На практике при количественной оценке параметров эконометрической модели довольно часто сталкиваются с проблемой взаимосвязи между объясняющими переменными. Если взаимосвязь довольно тесная, то оценка параметров модели может иметь большую погрешность. Такая взаимосвязь между объясняющими переменными называется мультиколлинеарностью. Мультиколлинеарность переменных приводит к смещению оценок параметров модели. Поэтому необходима проверка факторов на мультиколлинеарность.

     Наиболее простой формой проверки мультиколлинеарности является анализ корреляционной матрицы. Значение парных коэффициентов корреляции свидетельствует о том, связаны между собою переменные или нет. Но если в модели большее двух факторов, вопрос о мультиколлинеарности не может ограничиваться информацией, которая дает эта матрица. Более общая проверка предусматривает вычисление определителя матрицы R, (  ).

     Наиболее полное исследование мультиколлинеарности можно осуществить на основе алгоритма Феррара-Глаубера. Этот алгоритм включает три вида статистических критериев, на основе которых проверяется мультиколлинеарность всего массива переменных (  , хи-квадрат); каждой факторной переменной со всеми другими (F-статистика) и мультиколлинеарность каждой пары факторов (t-статистика). Все эти критерии при сравнении с их критическими значениями дают возможность сделать конкретные выводы относительно наличия или отсутствия мультиколлинеарности независимых переменных.

Пример 4.

Затратына питание зависят от факторов:общие затраты, состав семьи и заработок. Надо исследовать наличие мультиколлинеарностипо алгоритму Феррара-Глаубера.

Затраты на питание,	Общие затраты,	Состав семьи,	Заработок,
22	45	1,7	70
30	72	1,9	105
45	131	2	172
62	228	3,4	302
48	90	3	150
64	145	3,6	205
76	225	4,7	303
108	357	5,2	480
65	136	4,9	195
90	218	5	315

Решение.

1. Найдем корреляционную матрицу. Эта матрица симметричная. В нашем случае размера 3х3. Она имеет вид:

 ,                                         (8)

где  исчисляется по формуле

 ,                                         (9)

где , , .

Вычислим вспомогательную таблицу:

Таблица 8 - Расчет элементов корреляционной матрицы

45	1,7	70	2025	2,89	4900	76,5	3150	119
72	1,9	105	5184	3,61	11025	136,8	7560	199,5
131	2	172	17161	4	29584	262	22532	344
228	3,4	302	51984	11,56	91204	775,2	68856	1026,8
90	3	150	8100	9	22500	270	13500	450
145	3,6	205	21025	12,96	42025	522	29725	738
225	4,7	303	50625	22,09	91809	1057,5	68175	1424,1
357	5,2	480	127449	27,04	230400	1856,4	171360	2496
136	4,9	195	18496	24,01	38025	666,4	26520	955,5
218	5	315	47524	25	99225	1090	68670	1575
1647	35,4	2297	349573	142,16	660697	6712,8	480048	9327,9

 В нашем случае число испытаний  равняется 10. Из таблицы 8 имеем:

Рассчитаем средние квадратичные отклонения:

Рассчитанные значения подставим в формулу (9):

Для данной задачи корреляционная матрица (8) имеет вид:

Элементы этой матрицы характеризуют тесноту связи между факторами.

В нашем случае  Между каждой парой факторов существует определенная связь.

2. Найдем определитель  корреляционной матрицы  по формуле (10):

(10)

В нашем случае получим такие результаты:

       Найдем - статистику по формуле (11):

                              (11)

В нашем случае число испытаний  число факторов , поэтому формула (11), имеет вид:

При степени свободы  и уровне значимости  находим по таблице (приложение 3) критическое значение .

Если , то мультиколлинеарность существует, в противном случае, то есть при  мультиколлинеарность отсутствует. 

В нашем случае поскольку  (  ), то можем считать что мультиколлинеарность присутствует.

3. Найдем обратную матрицу  к матрице  с помощью формулы (12)

 ,                                       (12)

где – алгебраическое дополнение к элементу . 

Найденные алгебраические дополнения подставим в формулу (12):

4. Рассчитаем - статистику по формуле (13):

                                        (13)

где – диагональные элементы матрицы  

В нашем случае  Эти значения подставим в формулу (13). Получим

 ;  ;

Фактические значения статистики  сравниваются с табличными  (приложение 4) при  и  степенях свободы и уровне значимости . Если , то переменная  с другими не коррелирует. В противоположном случае, то есть если , то переменная  коррелирует с другими переменными.

В нашем случае при уровне значимости  и степенях свободы  табличное значение критерия равняется   Поскольку все   то можно сделать вывод, что переменные коррелируют между собой.

5. Найдем частные коэффициенты корреляции.

Частные коэффициенты корреляции характеризуют тесноту связи между двумя переменными при условии, что третья не влияет на эту связь.

Частный коэффициент  приблизительно равен парному. Это свидетельствует о наличии мультиколлинеарности между переменными  и .

  6. Рассчитаем значения статистик:

Табличное значение статистики при 7 степенях свободы и уровне значимости 0,05 (приложение 5) равняется . Если , то между соответствующими переменными нет мультиколлинеарности. В противоположном случае, то есть если , между соответствующими переменными имеется существенная мультиколлинеарность.

Найденное фактическое значение  критерия больше табличного значения. Можно сделать вывод, что между переменными  и  также возможна коллинеарность. Сравнивая эти результаты, можем заключить, что из рассмотрения следует исключить фактор .

 4 МНОЖЕСТВЕННАЯ РЕГРЕССИЯ

Каждое явление в природе, экономике, общественной жизни, технике определяется комплексом причин. На уровень развития одного показателя могут влиять много факторов. Уровень влияния факторов на показатель может существенно различаться. Все эти закономерности следует учитывать во время проведения эконометрического анализа, прогнозирования и планирования.

При существовании линейной зависимости объясняемой переменной (показателя)  от нескольких объясняющих переменных (факторов)  общее выражение уравнения множественной регрессии имеет вид (14):

                       (14)

Модель описывает совместное одновременное влияние факторов на показатель. Задача исследования состоит в оценке параметров регрессии  по результатам выборочных наблюдений над переменными, которые включены в модель. Построение модели проводят методом наименьших квадратов.

Пример 5.

Построить эконометрическую модель, которая характеризует зависимость между затратами на питание  (условные денежные единицы), общими затратами  (условные денежные единицы) и составом семьи  (количество членов семьи) на основе данных, которые приведенные в таблицы.

	22	30	45	62	48	64	76	108	65	90
	45	72	131	228	90	145	225	357	136	218
	1,7	1,9	2	3,4	3	3,6	4,7	5,2	4,9	5

Решение. Для построения линейной многофакторной модели (15)

 ,                                      (15)

где  – теоретические значения показателя.

В соответствии с методом наименьших квадратов параметры  ищут как решение системы линейных уравнений (16)

                   (16)

Вспомогательные вычисления удобно проводить в таблице:

Таблица 9 - Расчет элементов системы (16)

45	1,7	22	2025	2,89	76,5	990	37,4
72	1,9	30	5184	3,61	136,8	2160	57
131	2	45	17161	4	262	5895	90
228	3,4	62	51984	11,56	775,2	14136	210,8
90	3	48	8100	9	270	4320	144
145	3,6	64	21025	12,96	522	9280	230,4
225	4,7	76	50625	22,09	1057,5	17100	357,2
357	5,2	108	127449	27,04	1856,4	38556	561,6
136	4,9	65	18496	24,01	666,4	8840	318,5
218	5	90	47524	25	1090	19620	450
1647	35,4	610	349573	142,16	6712,8	120897	2456,9

В последней строке записывают суммы чисел в столбце. Можно найти средние для каждого показателя по формулам (17)-(19)

;                                             (17)

;                                 (18)

.                                    (19)

Система (16) для определения параметров регрессии имеет вид:

Из первого уравнения можно выразить  и подставить во второе и третье уравнения:

Тогда уравнение регрессии (15) имеет вид

 .                                (20)

Важным этапом регрессионного анализа является оценка практической значимости синтезированной модели. Проверку значимости модели проводят на основании показателей тесноты связи между признаками  и .

Множественный коэффициент корреляции  равен коэффициенту корреляции между фактическими и теоретическими значениями объясняемой переменной. Его вычисляют по формуле (21)

                    (21)

Для вычисления множественного коэффициента корреляции целесообразно рассчитать вспомогательную таблицу:

Таблица 10 - Расчет элементов коэффициента

45	1,7	22	23,83	484	568,01	524,33
72	1,9	30	30,39	900	923,61	911,73
131	2	45	41,86	2025	1752,26	1883,70
228	3,4	62	71,21	3844	5070,29	4414,77
90	3	48	42,97	2304	1846,42	2062,56
145	3,6	64	57,96	4096	3359,83	3709,70
225	4,7	76	81,70	5776	6675,38	6209,43
357	5,2	108	109,71	11664	12035,85	11848,46
136	4,9	65	67,38	4225	4540,20	4379,77
218	5	90	82,99	8100	6887,34	7469,10
		610	610,01	43418	43659,19	43413,54

В соответствии с формулой (21) множественный коэффициент корреляции равняется

 .

Чем более близок  к единице, тем лучше данная модель описывает фактические данные. Рассчитанный коэффициент указывает на очень точное соответствие математической модели фактическим данным.

Коэффициент детерминации  равен квадрату множественного коэффициента корреляции. Он измеряет долю общей дисперсии относительно среднего , которую можно объяснить регрессией.

В нашем случае . То есть 96% дисперсии показателя  (затраты на питание) можно объяснить с помощью построенной модели зависимости от  (общих затрат) и  (состава семьи).

Полезным является построение интервальных границ для коэффициента множественной регрессии.

Интервал доверия для множественного коэффициента корреляции находится по формуле (22)

 ,                                    (22)

где .

В нашем случае по таблицам Стьюдента (приложение 5) находим критическую точку , поэтому .

 Тогда доверительный интервал, найденный по формуле (22), имеет вид  или . Поскольку коэффициент множественной корреляции должен находиться в границах от 0 до 1, то доверительным интервалом для него будет , что указывает на очень точный подбор модели.

Проверку значимости уравнение регрессии делают таким образом: по критерию Фишера вычисляют фактическое значение -статистики (23): 

 .                                      (23)

 По таблице критических точек Фишера (приложение 4) находят критическое значение статистики , где количество наблюдений, количество факторов, – уровень значимости.

Если , то уравнение регрессии не является значимым, коэффициент множественной корреляции  не существенно отличается от нуля. Если , то уравнение регрессии является значимым, коэффициент множественной корреляции  существенно отличается от нуля.

В нашем случае рассчитаем статистику по формуле (23) . По таблицам Фишера (приложение 4) найдем критическое значение . Поскольку , то уравнения считают значимым.

Экономический смысл параметра b_i  регрессии: если фактор  изменится на единицу своего измерения, то показатель  изменится на  единиц своего измерения при условии, что остальные факторы остаются без изменений.

В нашем случае . Если фактор  изменится на единицу своего измерения, то показатель  изменится на  единиц своего измерения. То есть если общие затраты возрастут (или уменьшатся) на 1 условную денежную единицу, то затраты на питание возрастут (или уменьшатся) на  условных денежных единиц. Поскольку , то если фактор  изменится на 1 единицу своего измерения, то показатель  изменится на  единиц своего измерения. То есть если количество членов семьи возрастет (или уменьшится) на одного человека, то затраты на питание возрастут (или уменьшатся) на  условных денежных единиц.