2018-02-14
566АМ позволяют учесть степень «устаревания» данных с помощью системы весов, придаваемых этим уровням. Модели, созданные при помощи АМ, являются самокорректирующимися, способными учитывать результат прогноза, сделанного на предыдущем шаге.
1. строим текущую модель
2. рассчитывается прогноз
3. при поступлении фактического значения оценивается ошибка прогноза
4. ошибка учитывается в модели в соответствии с процедурой перехода из одного состояния в другое
5. т.о. вырабатываются компенсирующие изменения, состоящие в корректировании параметров модели с целью большего согласования модели с динамикой ряда
6. расчёт прогноза на следующий момент времени
Скорость реакции модели на изменения в динамике (параметр адаптации) должен быть выбран таким образом, чтобы обеспечивалось адекватное отображение тенденции при одновременной фильтрации случайных отклонений.
Пусть временной ряд может быть представлен в виде:
(1)
где 
- случайные неавтокоррелированные отклонения с нулевым математическим ожиданием и дисперсией 
,
.
Модель экспоненциального сглаживания ряда:
, (2)
где 
- значение экспоненциальной средней в момент 
,
- параметр сглаживания: 
можно выразить через предшествующие значения уровней временного ряда:
, (3)
где 
- длина ряда,
- начальное значение экспоненциальной средней.
Веса отдельных наблюдений убывают по мере удаления в прошлое.
Например, если =0,1, вес текущего наблюдения 
= =0,1,
,
и т.д.
Проблема решается так:
В качестве начального значения () используется среднее значение из всех имеющихся уровней временного ряда или его части. Из выражения (3) следует, что вес этого значения уменьшается по мере удаления от первого уровня. Поэтому для длинных временных рядов влияния неудачного выбора погашается.
При 
, 
, следовательно,
(4)
(5)
Из (5) видно, что математическое ожидание 
, так же как и математическое ожидание самого временного ряда.
Дисперсия:
Учитывая свойства 
получаем:
(6)
Т.к. 
, то 
меньше дисперсии временного ряда, равной .
При больших значениях дисперсия экспоненциальной средней незначительно отличается от дисперсии временного ряда.
С уменьшением дисперсия сокращается, возрастает её отличие от дисперсии ряда, т.е. эксп-я средняя играет роль «фильтра», поглощая колебания временного ряда.
Повышая , увеличиваем вес более свежих наблюдений, но для сглаживания случайных отклонений нужно уменьшать. Нужен компромисс.
Пример.
Рассчитать экспоненциальную средний объём продаж фирмы. Начальное значение – среднее всех уровней. Расчёты провести для параметров адаптации: =0,1; 0,5; 0,9. Какой лучше?
 Периоды
| объём продаж (тыс. шт.) |
| 1 | 235 |
| 2 | 234 |
| 3 | 227 |
| 4 | 222 |
| 5 | 218 |
| 6 | 199 |
| 7 | 197 |
| 8 | 203 |
| 9 | 208 |
| 10 | 212 |
| 11 | 217 |
| 12 | 232 |
| 13 | 230 |
| 14 | 220 |
| 15 | 213 |
| 16 | 213 |
| 17 | 219 |
При использовании экспоненциальной средней для краткосрочного прогнозирования предполагается, что модель ряда имеет вид:
,
где 
- варьирующий во времени средний уровень ряда,
- случайные неавтокоррелированные отклонения с нулевым мат. ожиданием и ненулевой дисперсией.
Прогнозная модель:
,
где 
- прогноз, сделанный в момент t на 
единиц времени вперёд,
- оценка , которая определяется через эксп-ю среднюю:
,
а 
С использованием (2) получаем:
Величина в скобках – погрешность прогноза. Тогда новый прогноз получается в результате корректировки предыдущего прогноза с учётом его ошибки. Это процесс адаптации.
При краткосрочном прогнозировании желательно как можно скорее отразить изменения ряда и очистить ряд, отфильтровав случайные колебания. Для этого (
рекомендовано брать от 0,1 до 0,3. Можно выбрать наилучшее значение путём перебора значений, на основе минимизации погрешности.
Выбор значения зависит также от периода упреждения прогноза. Для оперативных, конъюнктурных прогнозов в большей степени должна учитываться свежая информация, поэтому значение надо брать большим.
При увеличении срока прогнозирования конъюнктурные колебания должны быть сглажены и учтены прошлые уровни, поэтому следует уменьшить.
Для рядов, имеющих ярко выраженную линейную тенденцию, целесообразно применять модели линейного роста с применением процедуры экспоненциального сглаживания:
,
где и 
- текущие оценки коэффициентов.
Выбор оптимальных параметров адаптации по критерию минимума среднеквадратической ошибки путём перебора возможных значений. Оценки коэффициентов определяются с помощью выражений (Ч.Хольт):
;
;
.
Понятие экспоненциальной средней можно обобщить в случае экспоненциальных средних более высоких порядков:
Для выравнивания р -порядка:
Если предположить, что тренд может быть описан полиномом степени п, то коэффициенты полинома прогноза вычисляются через экспоненциальные средние соответствующих порядков.
