Краткие теоретические сведения

Лабораторная работа по эконометрике №1

Построение модели парной линейной регрессии средствами электронных таблиц Excel

Вопросы для отчета по лабораторной работе

1. Какую зависимость описывает модель построенная с помощью линейной регрессии? Приведите примеры.

2. Каково уравнение линейной регрессии. Раскройте смысл, входящих в него переменных?

3. Выведите с помощью метода наименьших квадратов систему нормальных уравнений для линейной регрессии.

4. Решая систему нормальных уравнений для линейной регрессии методом Крамера, получите формулы для нахождения коэффициентов a, b.

5. Что такое корреляция? Как рассчитывается корреляция для линейной регрессии?

6. Каким образом можно оценить полученную модель линейной регрессии?

7. Как рассчитывается ошибка прогноза для линейной регрессии?

Краткие теоретические сведения

Уравнение линейной регрессии: . Система нормальных уравнений для парной линейной регрессии:

, где

,

Тесноту связи изучаемых явлений оценивает линейный коэффициент парной корреляции r_xy для линейной регрессии ():

;

Оценку качества построенной модели дает средняя ошибка аппроксимации, то есть среднее отклонение расчетных значений от фактических:

Допустимый предел значений средней ошибки аппроксимации  не более 8 – 10%.

F-тест – оценивание качества уравнения регрессии – состоит в проверке гипотезы H₀  о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Для этого выполняется сравнение фактического F_факт и критического (табличного) F_табл значения F-критерия Фишера.

 где n – число единиц в совокупности.

Если F_факт <F_табл, то гипотеза H₀ о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность.

Задача 1. Имеются данные о расходах на покупку продовольственных товарах в общих расходах, %, y и среднедневная заработная плата одного работающего, руб., х по регионам Уральского округа за 2002 год. Постройте модель линейной регрессии и оцените ее.

Решение: на основе электронных таблиц Excel создадим таблицу, в которую внесем численные значения х, у.  Построим точечную диаграмму, характеризующую имеющуюся зависимость Согласно системы нормальных уравнений для линейной регрессии получим необходимые данные, продолжая полученную таблицу. Ниже рассчитаем значения коэффициентов a и b. А также все необходимые параметры для оценки модели (см. рис. 1).

Рисунок. 1. Решение задачи 1.

Задача 2. Имеются данные о зависимости уровня безработицы от темпа роста заработной платы. Необходимо проанализировать, существует ли между этими данными линейная зависимость найти ее основные характеристики.

w	1,62	1,65	1,79	1,94	2,03	2,12	2,66	2,73	2,8	2,26	2,44	2,57	2,92	3,02	3,13
u	1	1,4	1,1	1,5	1,5	1,7	1,8	1,9	2,03	1,3	1,7	1,3	1,9	1,8	2,1

Решение: построим график данной зависимости и линейный тренд.

 

Для этого достаточно щелкнуть правой кнопкой мыши по любой из точек Точечной диаграммы и в контекстном меню выбрать Добавить линию тренда. На вкладке Тип выбираем первый – линейная. А на вкладке Параметры устанавливаем необходимые флажки. 

 

Для решения данной задачи воспользуемся встроенной функцией Excel (Сервис/Анализ данных регрессия).

 

 

В результате у вас получатся следующие показатели. Множественный R должен быть не менее 0,95; нормированный R-квадрат должен превышать 0,85. В нашем случае оба показателя ниже. Следовательно, в выборке, скорее всего, присутствуют выскоки, либо зависимость не является линейной.

 

Наличие выскоков определяется по значениям стандартных остатков, которые не должны превышать 2 по модулю. В нашем случае наблюдение 12 соответствует выскоку и его необходимо удалить из первоначальной выборки и еще раз проанализировать зависимость (Сервис/Анализ данных регрессия).

Данная зависимость является значительно лучше, однако найденный свободный член статистически незначим.

Сделаем прогноз при w=3,2.

Прогнозируем величину из полученного уравнения:

 

С надежностью 0,95 определим доверительный интервал у_р. при w=3,2.

 =0,01469

 

Тогда получим,