Параметровмодифицированной экспоненты,
Кривой Гомперца и логической кривой
Если нет полного ряда данных, в этих обстоятельствах оценки параметров функции, возможно на основе трех точек.
Метод трех сумм
Предположим, имеется функция:
Для этой функции выявлены следующие формулы:
;
;
.
Таким образом, сперва определяется параметр b, затем а и наконец К. Если в последнее выражение подставить найденные выше значения а и b, то К можно определить следующим образом:
.
Значение К лучше определять на основе последней формулы, поскольку в этом случае не будет сказываться округление параметров а и b. Малейшее изменение их обычно существенно влияет на величину К.
Пример. Пусть уровни ряда формируются по закону К + аbt, причем К = 120, а = -60, разность между асимптотой и у0, в отношение последовательных первых разностей ординат.
Итак, уt = 120 – 60 ∙ 0,5 t.
Продолжим эксперимент. Пусть на показатели ряда воздействуют некоторые случайные факторы, причем соответствующие случайные сдвиги составляют не более 5%.
Воспользовавшись таблицей случайных чисел для определения возмущения (∑t) получим следующие данные (таблица 3).
Таблица 3
Генерирование данных (модифицированная экспонента)
t | 120 – 60 ∙ 0,5 t | ∑t | yt |
1 | 60 | +2,5 | 62,4 |
2 | 90 | +4,8 | 94,8 |
3 | 105 | -6,0 | 99,0 |
4 | 112,5 | +6,0 | 118,5 |
367,5 | 374,7 | ||
5 | 116,25 | -1,2 | 115,05 |
6 | 118,12 | +3,5 | 121,72 |
7 | 119,06 | -2,4 | 116,82 |
8 | 119,53 | +2,5 | 122,20 |
472,96 | 475,79 | ||
9 | 119,77 | +2,4 | 122,17 |
10 | 119,88 | +1,2 | 121,08 |
11 | 119,94 | -4,8 | 115,14 |
12 | 1119,97 | 0 | 119,97 |
479,56 | 478,36 |
Определим теперь значения параметров а и b, К на основе данных таблицы:
;
;
.
В итоге имеем
уt = 114 – 38,8 ∙ 0,35 t.
Итак, метод трех сумм "работоспособен" в сравнительно узких пределах колебаний исходных данных, а результаты весьма чувствительны к случайным возмущениям.
Рассмотрим метод трех сумм к оценке параметров кривой Гомперца. Напомним, что с помощью логарифмирования кривую Гомперца легко представить в виде модифицированной экспоненты
ℓog a + ℓog K + bt ℓog a
Пользуясь рассмотренным методом определения параметров модифицированной экспоненты, получим:
;
;
или
.
Аналогичный подход возможен при оценке логистической кривой, вида:
,
;
;
или
.
Если логистическая кривая имеет вид:
,
то метод трех сумм для оценки параметров можно применить следующим образом. Пусть, как и выше, ряд разбит на три части:
; ; .
тогда
;
;
.
где
.
Определим теперь разности:
;
.
Отсюда отношение разностей составит:
.
Таким образом,
.
Имеем,
.
После преобразования получим:
Поскольку:
;
получим:
.
Метод трех точек
Предположим, задана логическая кривая -
.
Здесь, также:
;
;
.
Определим параметр а из первого уравнения системы, получим:
Отсюда
,
.
Параметр b найдем из второго уравнения системы, одновременно подставив вместо 10 а соответствующее выражение, получим:
.
Отсюда следует, что имеем:
.
Наконец,
.
Подставив в это выражение 10 а и 10 bn, после соответствующих преобразований, получим:
.
Пример. Предположим, что необходимо провести логическую кривую через три точки. Пусть у0 = 12,9; у1 = 62,1; у2 = 152,7. Интервалы у0-у1 и у1-у2 равны 6 единицам времени, тогда
;
;
.
Таким образом,
|
Аналогичным образом находятся параметры логистической кривой вида:
.
Три точки, через которые надо провести кривую можно определить следующим образом:
;
;
Определим теперь разности d1, d2:
;
.
Отсюда
.
Итак, .
Определим значение выражения. После преобразований получим:
.
Отсюда
.
Следовательно:
.
Наконец, из первого уравнения системы получим:
.
Для иллюстрации вернемся к рассмотренному примеру, где у0 = 12,9; у1 = 62,1; у2 = -152,7, n = 6. На основе этих данных получим:
; ;
;
d1 = 0,06142; d2 = 0,00955;
,
К = 208,2;
.
Таким образом,
|
Рассмотренный метод оценки параметров весьма прост, однако он очень чувствителен к величине значений у0, у1, у2, которые даже если они получены усредненным путем, могут содержать существенный элемент случайности.