Доверительные интервалы прогноза

Для линейного тренда

Предположим, имеется линейная регрессионная модель, . Учитывая, что параметры а и b являются выборочными оценками, получим

,

где ( - заданное, - среднее значение),

- сумма квадратов отклонений значений независимой переменной от их средней;

S_y – средний квадрат отклонений фактических значений у от расчетных.

Поскольку в качестве независимой переменной здесь выступает время (t), то заменив , , соответственно на , , и слегка преобразовав, получим:

где S_y – среднее квадратическое отклонение фактических наблюдений от расчетных значений у;

n – число наблюдений;

- время, для которого делается экстраполяция, т.е. = n + L;

- значение порядкового номера уровня.

Доверительные интервалы для прогноза изображены на рис. 7.

 

 

 

Рис. 7. Доверительные интервалы прогноза

 

;        ;

.

Обозначим, через К среднее квадратическое ошибки, тогда получим:

.

Значение К зависит от n и L, т.е. продолжительности наблюдения и периода прогнозирования.

Введем величину К* в выражение для доверительного интервала, получим:

,

где .

Итак, при увеличении продолжительности наблюдения (n) значения К и К* уменьшаются, с ростом величины L они растут.

Исследуя проблему соотношения продолжительности наблюдений и периода прогнозирования, Г.Девис нашел следующую зависимость:

.

При рассмотрении этого выражения легко прийти к выводу о том, что величина L не может быть равна или больше n, иначе средняя квадратическая ошибка прогноза становится неопределенно большой.

 

 

Доверительные интервалы полиномов

Невысоких степеней

Доверительные интервалы также следует исследовать для полиномов невысоких степеней. Например, для параболы второй степени.

В данном случае получены формулы:

.

Для параболы третьей степени:

.

Ниже приводим все три уравнения доверительных интервалов прогноза:

1. ;

2. ;

Анализ формул (1-3) дает основания утверждать, что чем выше степень полинома, тем шире доверительный интервал прогноза. Следовательно, тем больше влияние случайных факторов, т.е. адекватность прогнозных оценок снижается, но в определенных обстоятельствах.