2018-02-14
229
Во многих экономических исследованиях рассматриваются ситуации, в которых различные величины находятся в некоторой зависимости одно от другой. При этом характер этой зависимости может быть различным.
Зависимость между величинами, в которой каждому значению одной переменной соответствует единственное, заданное некоторой формулой значение другой переменной, называется функциональной. Примером может служить начисление заработной платы рабочего в зависимости от выработки.
Если же одному значению переменной соответствует статистическое распределение другой переменной, то говорят о статистическом распределении между переменными. Статистическое распределение рассматривается ниже в примере.
Статистическая зависимость не позволяет оценить полностью влияние одной переменной на другую, а следовательно решить ряд экономических задач. Поэтому, с помощью статистической зависимости, строят так называемую корреляционную зависимость, где каждому значению одной переменной соответствует усредненное единственное значение другой переменной. Построение корреляционной зависимости рассматривается ниже в примере.
Если же корреляционная зависимость позволяет предположить, что зависимость между переменными можно выразить в виде некоторой формулы, то строится так называемое уравнение регрессии. Построение регрессионной зависимости также рассматривается ниже в примере.
Пример. Задана статистическая зависимость между признаками Х и У.
1. Построить корреляционное поле.
2. Найти групповые средние у по х и х по у.
3. Построить эмпирические линии регрессии.
4. Считая, что эмпирические линии регрессии можно выровнять по прямой линии, найти теоретические уравнения регрессии Х по У и У по Х.
5. Построить прямые регрессии и установить тесноту линейной связи между признаками, которые изучаются с помощью линейного коэффициента корреляции.
6. Найти прогнозное значение х, которое больше последнего значения х на единицу.
| У Х | 11 | 17 | 23 | 29 | 35 | 41 | 
|
| 15 | 1 | 3 | 1 | 5 | |||
| 20 | 6 | 13 | 2 | 21 | |||
| 25 | 1 | 17 | 19 | 2 | 39 | ||
| 30 | 2 | 15 | 10 | 1 | 28 | ||
| 35 | 1 | 4 | 2 | 7 | |||
| 1 | 10 | 33 | 37 | 16 | 3 | п = 100 |
Решение. Построим корреляционное поле.
 |
2. Находим групповые средние 
, т.е. средние значения признака У, вычисленные для каждого значения признака Х по формуле: 
.
Получаем: 
;
;
;
;
.
Зависимость между значениями признака Х и групповыми средними называется корреляционной зависимостью У по Х. Её можно записать с помощью таблицы:
| Х | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 |
| 17 | 21,9 | 26,4 | 31,1 | 35,9 |
|
| 5 | 21 | 39 | 28 | 7 |
С помощью аналогичных вычислений находятся групповые средние по формулам: 
.
Тогда:
; 
;
;
;
; 
.
Корреляционная зависимость Х по У приведена в следующей таблице:
| У | 11 | 17 | 23 | 29 | 35 | 41 |
| 15 | 19 | 23,03 | 27,03 | 30.625 | 33,3 |
|
| 1 | 10 | 33 | 37 | 16 | 3 |
3. В прямоугольной системе координат построим все точки, соответствующие парам чисел 
. Частоты этих точек также нанесем на график. Соседние точки соединим отрезками прямых. Полученная линия называется эмпирической линией регрессии У по Х. Аналогично строится эмпирическая линия регрессии Х по У.
Вид этих линий позволяет предположить наличие линейной корреляционной зависимости.
4. Уравнения, с помощью которых задается эта зависимость, называются теоретическими уравнениями регрессии Х по У и У по Х. Они имеют вид:
;
.
Параметрами этих уравнений являются следующие величины:
среднее значение признака Х;
среднее значение признака У;
коэффициент регрессии Х по У;
коэффициент регрессии У по Х..
Они вычисляются по формулам:
;
.
Результаты вычислений оформим в виде таблицы:
| Х |
| 
| 
|
| У |
| 
| 
|
| 15 | 5 | 75 | 1125 | 11 | 1 | 11 | 121 | |
| 20 | 21 | 420 | 8400 | 17 | 10 | 170 | 2890 | |
| 25 | 39 | 975 | 24375 | 23 | 33 | 759 | 17457 | |
| 30 | 28 | 840 | 25200 | 29 | 37 | 1073 | 31117 | |
| 35 | 7 | 245 | 8575 | 35 | 16 | 560 | 19600 | |
| 100 | 2555 | 67675 | 41 | 3 | 123 | 5043 | |
|
|
| 100 | 2696 | 76338 | ||||
Из таблицы получаем:
; 
;
;
; 
;
;
;
;
;
.
Найдем уравнения прямых регрессии У по Х и Х по У:
; 
;
; 
.
Вычислим линейный коэффициент корреляции по формуле:
,
где знак перед корнем совпадает со знаками 
и 
. Так как 
и 
, то 
.
Значение линейного коэффициента корреляции, достаточно близкое к 1, говорит о том, что изучаемые признаки связаны достаточно тесно.
В прямоугольной системе координат построим полученные прямые регрессии.
 |
6. Найдем прогнозное значение у для 
.
Получаем: 
.
Список литературы
1. В.В. Вітлінський „Моделювання економіки.” – Навчальний посібник – КНЕУ, Київ, 2005. – 406 ст.
2. В.В. Вітлінський, П.І. Верченко, А.В. Сігал, Я.С. Наконечний „Економічний ризик: ігрові моделі ". — Навчальний посібник, за редакцією В.В. Вітлінського. – Київ, 2002. – 446ст.
3. П.І. Верченко, Г.І. Великоіваненко, Н.В. Демчук, О.С. Копаніченко, І.Ф. Шатарська „Ризикологія”. – Навчально–методичний посібник для самостійного вивчення дисципліни. – КНЕУ, Київ, 2006. – 175 ст.
4. В.М. Гранатуров, І.В. Литовченко, С.К. Харічков „Аналіз підприємницьких ризиків: проблеми визначення класифікації та кількісної оцінки”. Монографія. – за науковою редакцією В.М. Грана турова. – Одеса: ІПР та ЕЕД НАН України, 2003. – 164 ст.
5. В.М. Гранатуров „Економический риск: сущность, методы измерения, пути снижения ” Навчальний посібник 2-ге видавництво, перероблене і доповнене – М.: ДИС, 2002 р. – 160 ст.
6. „Економетрія” – Навчальний посібник. – Авторський колектив: В.Ф. Вітюк, А.Ф. Кабак, В.Т. Поляцький, О.В. Проценко, В.О. Шапталова, Е.В. Черевко – За редакцією А.Ф. Кабака, О.В. Проценко. – ТОВ ”Автограф”. Одесса, 2003. – 561 ст.
7. А.Ф. Кабак, А.Л. Суворовский „Математическое программирование”. – Учебное пособие – Киев: НМК ВО, 1992. – 248 с.
8. Г.П. Фомин „Математические методы и модели в коммерческой деятельности”. – Учебник – Москва: Финансы и статистика, 2001. – 544 с.
9. А.И. Орлов „Теория принятия решений”. – Учебное пособие – Москва: Издательство «Март». – 2004. – 656 с.
