Оценка соответствия результатов измерения нормальному закону по величине асимметрии и эксцесса

 

Для кривой нормального распределения характерно симметричное расположение отдельных значений относительно среднего, что можно проверить по величине асимметрии, которая является мерой косости.          

                                                                                      (30)

где К - асимметрия;

  S - среднее квадратическое отклонение;

  Х_i – текущее значение результатов испытаний;

   - среднее значение;

  n - число испытаний.

К =0 свидетельствует о симметричности кривой распределения. Чем больше К, тем асимметричнее кривая (рис. 21).

Рис.21. Асимметрия

 

В программе Excel асимметрия вычисляется с помощью функции СКОС (рис. 22). Асимметрия характеризует степень несимметричности распределения относительно его среднего. Положительная асимметрия указывает на отклонение распределения в сторону положительных значений. Отрицательная асимметрия указывает на отклонение распределения в сторону отрицательных значений.

СКОС (число1; число2;...)

Число1, число2...— от 1 до 30 аргументов, для которых вычисляется асимметрия. Можно использовать один массив или одну ссылку на массив вместо аргументов, разделяемых точкой с запятой.

Аргументы должны быть числами или именами, массивами или ссылками, содержащими числа. Если аргумент, который является массивом или ссылкой, содержит текст, логические значения или пустые ячейки, эти значения игнорируются; ячейки, содержащие нулевые значения, учитываются. Если имеется менее трех точек данных, или стандартное отклонение равно нулю, то функция СКОС возвращает значение ошибки #ДЕЛ/0!.

 

Рис. 22 Функция СКОС

 

Уравнение для асимметрии в программе Excel определяется следующим образом:

                            (31)

где S — стандартное отклонение выборки.

Эксцесс (Е) - позволяет судить о сплющенности (крутости) кривой распределения по сравнению с кривой нормального распределения (рис. 23).

                                   (32)

В программе Excel эксцесс вычисляется с помощью функции ЭКСЦЕСС (число1; число2;...), которая возвращает эксцесс множества данных. Эксцесс характеризует относительную остроконечность или сглаженность распределения по сравнению с нормальным распределением (рис. 24). Положительный эксцесс обозначает относительно остроконечное распределение. Отрицательный эксцесс обозначает относительно сглаженное распределение.

 

 

                                   Рис. 23. Эксцесс

 

 

ЭКСЦЕСС (число1; число2;...)

Число1, число2,...— от 1 до 30 аргументов, для которых вычисляется мода. (Возвращает наиболее часто встречающееся или повторяющееся значение в массиве или интервале данных.) Можно использовать один массив или одну ссылку на массив вместо аргументов, разделяемых точкой с запятой.

Аргументы должны быть либо числами, либо именами, массивами или ссылками, содержащими числа.

 

Рис. 24 Функция ЭКСЦЕСС

Если аргумент, который является массивом или ссылкой, содержит текст, логические значения или пустые ячейки, эти значения игнорируются; ячейки, содержащие нулевые значения, учитываются.

Если задано менее четырех точек данных или если стандартное отклонение выборки равняется нулю, то функция ЭКСЦЕСС возвращает значение ошибки #ДЕЛ/0!.

В программе Excel эксцесс определяется следующим образом:

         (33)

При приближенной оценке соответствия эмпирического распределения нормальному необходимо сравнить значения К и Е с их средними квадратическими отклонениями S_k и S_Е

,                           (34)

                                          (35)

Если  и , то гипотеза о соответствии эмпирического распределения нормальному закону отвергается.