2018-02-14
2766
Для исследователя важно знать точность и надежность оценки каждого определенного параметра, представления о которых дают доверительные интервалы.
Односторонним доверительным интервалом называют интервал от Х- ε до неизвестного параметра или от неизвестного параметра до Х+ ε, который устанавливает либо нижнюю, либо верхнюю границу неизвестного параметра с заданной доверительной вероятностью Рд.
Двусторонним доверительным интервалом называют интервал от Х- ε до Х+ε, который покрывает неизвестный параметр распределения с заданной доверительной вероятностью Рд.
Доверительная ошибка ε характеризует случайную ошибку параметра распределения. Чем меньше значение ε тем больше точность оценки Х.
Доверительной вероятностью Рд или надежностью, соответствующей данному доверительному интервалу, называется вероятность того, что истинное значение многих числовых характеристик Х лежит в этом интервале.
Величина, равная a = 1 - Рд называется уровнем значимости и иногда выражается в %. Она характеризует вероятность событий, условно принимаемые за невероятные.
|
|
|
Для контроля качества продукции доверительную вероятность Рд принимают равной 0,95 – 0,99.
Доверительный интервал ограничен нижней и верхней доверительными границами, в его пределах с некоторой вероятностью находится сводная характеристика.
Доверительные интервалы для среднего значения.
Для односторонней границы:
Нижняя граница: 
(12)
Верхняя граница: 
(13)
Для двусторонних границ:
Нижняя граница: 
(14)
Верхняя граница: 
(15)
где t1 и t - квантили распределения Стьюдента при доверительной вероятности g = 0,95, значения которых приведены в таблице 3.
Таблица 3
| K=n-1 | t1 | t | zн | zв | K =n-1 | t1 | t | zн | zв |
| 2 | 2,920 | 4,303 | 0,578 | 4,42 | 29 | 1,699 | 2,045 | 0,825 | 1,28 |
| 3 | 2,353 | 3,182 | 0,620 | 2,92 | 40 | 1,684 | 2,021 | 0,847 | 1,23 |
| 4 | 2,132 | 2,776 | 0,649 | 2,37 | 50 | 1,676 | 2,009 | 0,861 | 1,20 |
| 9 | 1,833 | 2,262 | 0,729 | 1,65 | 100 | 1,660 | 1,984 | 0,897 | 1,13 |
| 19 | 1,729 | 2,093 | 0,794 | 1,37 | ¥ | 1,645 | 1,960 | 1,000 | 1,00 |
В программе Excel доверительные интервалы рассчитываются с помощью функции ДОВЕРИТ (рис. 17). Она возвращает значение, с помощью которого можно определить доверительный интервал для математического ожидания генеральной совокупности. Доверительный интервал представляет собой диапазон значений. Выборочное среднее x является серединой этого диапазона, следовательно, доверительный интервал определяется как (x ± ДОВЕРИТ).
Рис. 17. Функция ДОВЕРИТ
ДОВЕРИТ (альфа; станд_откл; размер)
|
|
|
Альфа — это уровень значимости, используемый для вычисления уровня надежности. Уровень надежности равняется (1 - альфа).100%, или, другими словами, альфа равное 0,05 означает 95-процентный уровень надежности.
Станд_откл — это стандартное отклонение (среднее квадратическое отклонение) генеральной совокупности для интервала данных, оно предполагается известным.
Размер — это размер выборки.
Если какой-либо из аргументов не является числом, то функция ДОВЕРИТ возвращает значение ошибки #ЗНАЧ!.
Если альфа ≤ 0 или альфа ≥ 1, то функция ДОВЕРИТ возвращает значение ошибки #ЧИСЛО!
Если станд_откл ≤ 0, то функция ДОВЕРИТ возвращает значение ошибки #ЧИСЛО!.
Если размер не целое, то оно округляется.
Если размер < 1, то функция ДОВЕРИТ возвращает значение ошибки #ЧИСЛО!.
Доверительные интервалы для среднего квадратического отклонения.
определяются по следующим формулам, если число испытаний n<100:
(16)
(17)
где S – среднее квадратическое отклонение.
Значения Zн и Zв определяются с помощью табл.4.
При числе испытаний К=n-1 >100 значения Zн и Zв вычисляют по формулам:
(18)
(19)
где U = t1 при n =∞ – квантиль распределения Стьюдента при доверительной вероятности Рд=0,95.
Доверительные интервалы для коэффициента вариации.
(20)
(21)
где С – коэффициент вариации.
Значения Кн и Кв приведены в таблице 4.
Таблица 4
| n | 30 | 50 | 100 | 200 | 500 | 1000 |
| Kн | 0,83 | 0,86 | 0,90 | 0,92 | 0,95 | 0,97 |
| Kв | 1,27 | 1,20 | 1,13 | 1,10 | 1,06 | 1,04 |
