2018-02-14
236
Тема: Розрахунок надійності послідовної системи за критерієм міцності при нормальному розподілі навантаження.
Мета роботи: ознайомитися і практично освоїти метод розрахунку на стадії проектування надійності електромеханічних систем.
Загальні відомості
У розрахунках основних деталей машин, крім підшипників кочення, міцність визначають за співвідношенням розрахункових напружень 
та граничних за критерієм міцності напружень деталі 
, перевищення яких викличе відмовлення.
Напруження та розглядають як незалежні випадкові величини, розподілені за нормальним законом. Кількісно напруження та задають їх числовими характеристиками: середніми значеннями (математичними очікуваннями) 
та 
і середніми квадратичними відхиленнями 
та 
або коефіцієнтами варіації 
та 
.
Імовірність безвідмовної роботи системи за критерієм міцності 
, або імовірність неруйнування, визначають як імовірність того, що розрахункові напруження не перевищать граничних , тобто
.
Числове значення імовірності неруйнування визначають за таблицями нормального розподілу в залежності від квантилі
, (8.1)
де 
– коефіцієнт запасу міцності за середніми напруженнями.
Імовірність безвідмовної роботи послідовної системи з несучою здатністю R при навантаженні F дорівнює добутку імовірностей безвідмовної роботи елементів:
(8.2)
де 
– імовірність безвідмовної роботи 
-го елемента системи при його навантаженні 
, 
– кількість елементів у системі.
Метод оцінки надійності послідовної системи для випадку нормального розподілу навантаження та несучої здатності полягає в наступному.
1. Задаються двома значеннями фіксованих навантажень 
і 
. Навантаження вибирають так, щоб при оцінці надійності системи імовірності її безвідмовної роботи отримувались в межах 
і 
. Орієнтовні значення навантажень можна приймати:
(8.3)
2. За формулою (8.2) проводять розрахунок імовірностей безвідмовної роботи системи при цих навантаженнях. Переконуються, що отримані значення 
та 
знаходяться в допустимих межах. У противному разі необхідно змінити значення 
та 
.
3. За таблицею 1 Додатку знаходять квантілі нормованого нормального розподілу 
та 
, що відповідають знайденим імовірностям.
4. Апроксимують закон розподілу несучої здатності системи нормальним розподілом з математичним очікуванням і коефіцієнтом варіації 
.
Квантіль нормального розподілу для визначення імовірності безвідмовної роботи системи за критерієм несучої здатності при фіксованому навантажені дорівнює:
. (8.4)
Для навантажень та квантілі дорівнюватимуть відповідно
; (8.5)
. (8.6)
Запишемо отримані вирази у вигляді системи рівнянь:
(8.7)
Вирішуючи спільно ці рівняння, і враховуючи, що 
, отримують вирази для математичного очікування та коефіцієнта варіації несучої здатності системи:
; (8.8)
; (8.9)
4. За формулою (8.1) обчислюють квантіль 
та знаходять відповідну їй імовірність безвідмовної роботи за таблицею 1 Додатку.
Завдання
Оцінити імовірність безвідмовної роботи одноступеневого редуктора. Умовні запаси міцності по середнім значенням несучої здатності і навантаження зубчастої передачі 
, підшипників вхідного валу 
= 
, підшипників вихідного валу 
= 
, вхідного и вихідного валів 
= 
наведені в табл. 8.1 у відповідності до варіанту завдання. Математичні очікування несучої здатності елементів дорівнюють: 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
.
Несучі здатності зубчастої передачі, підшипників і валів нормально розподілені з однаковим коефіцієнтом варіації 
. Навантаження по редукторам розподілене нормально з коефіцієнтом варіації 
.
Таблиця 8.1.
Вихідні дані
| № | Умовні запаси міцності | |||
| варiанту | 
| 
| 
| 
|
| 1 | 1,4 | 1,5 | 1,7 | 1,9 |
| 2 | 1,5 | 1,6 | 1,5 | 2,1 |
| 3 | 1,5 | 1,7 | 1,4 | 2,3 |
| 4 | 1,6 | 1,4 | 1,5 | 1,8 |
| 5 | 1,3 | 1,6 | 1,6 | 1,7 |
| 6 | 1,7 | 1,5 | 1,8 | 1,9 |
| 7 | 1,3 | 1,7 | 1,3 | 2,0 |
| 8 | 1,4 | 1,5 | 1,7 | 2,3 |
| 9 | 1,5 | 1,4 | 1,3 | 1,7 |
| 10 | 1,6 | 1,6 | 1,4 | 1,8 |
| 11 | 1,8 | 1,7 | 1,5 | 1,9 |
| 12 | 1,7 | 1,4 | 1,6 | 1,6 |
| 13 | 1,4 | 1,6 | 1,4 | 2,0 |
| 14 | 1,6 | 1,5 | 1,6 | 2,1 |
| 15 | 1,5 | 1,6 | 1,5 | 2,2 |
| 16 | 1,7 | 1,3 | 1,7 | 1,9 |
| 17 | 1,4 | 1,7 | 1,4 | 1,8 |
| 18 | 1,5 | 1,3 | 1,5 | 1,7 |
| 19 | 1,6 | 1,4 | 1,5 | 2,1 |
| 20 | 1,7 | 1,5 | 1,6 | 2,2 |
| 21 | 1,5 | 1,6 | 1,7 | 1,9 |
| 22 | 1,4 | 1,5 | 1,6 | 1,7 |
| 23 | 1,5 | 1,4 | 1,4 | 1,8 |
| 24 | 1,6 | 1,5 | 1,5 | 2,0 |
| 25 | 1,7 | 1,6 | 1,6 | 2,1 |
Порядок виконання роботи
1. Задатися навантаженнями та :
2. Визначити імовірності безвідмовної роботи системи та при вибраних навантаженнях. Для цього необхідно розрахувати квантілі нормованого нормального розподілу, що відповідають ймовірностям безвідмовної роботи кожного елемента системи при навантаженнях та :
За таблицею квантілей (табл. 1 Додатку) знайти значення імовірностей безвідмовної роботи елементів. За формулою (8.2) обчислити імовірності безвідмовної роботи системи та при фіксованих навантаженнях та .
Переконатися, що значення імовірностей знаходяться в допустимих межах:
в противному разі необхідно змінити значення і .
3. За таблицею квантілей визначити значення квантілей і , що відповідають значенням та .
4. Обчислити математичне очікування та коефіцієнт варіації несучої здатності редуктора за формулами (8.8) та (8.9).
5. За формулою (8.1) обчислити квантіль , що відповідає імовірності безвідмовної роботи редуктора.
6. За таблицею квантілей знайти значення імовірності безвідмовної роботи редуктора, що відповідає квантілі .
Контрольні запитання
1. Як здійснюється розрахунок надійності послідовної системи при нормальному розподіленні навантаження?
2. Як обчислюється квантіль нормованого нормального розподілу?
3. Як визначається імовірність безвідмовної роботи системи за критерієм несучої здатності?
4. Як величина імовірності безвідмовної роботи послідовної системи пов’язана з величинами імовірностей безвідмовної роботи її елементів?
5. Наведіть формули, за якими здійснюється розрахунок коефіцієнта варіації і математичного очікування несучої здатності послідовної системи.
ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 9
Тема: Надійність з’єднання з натягом.
Мета роботи: ознайомитися із методикою розрахунку надійності з’єднання з натягом за основними критеріями.
Загальні відомості
Посадки з натягом призначені для нерухомих, переважно не рознімних з’єднань деталей. Відносна нерухомість деталей у цих посадках досягається за рахунок напружень, що виникають у матеріалі спряжених деталей внаслідок деформації їх контактних поверхонь. Ці напруження пропорційні величині натягу. На відміну від інших способів забезпечення нерухомості деталей у з’єднанні при передачі навантажень посадки з натягом дозволяють спростити конструкцію та складання деталей і забезпечують високу ступінь їх центрування.
Надійність з’єднання з натягом визначається:
- величиною натягу – різницею діаметрів валу та отвору;
- матеріалами та розмірами деталей;
- умовами складання (швидкість запресовки, умови нагріву та охолодження);
- значеннями коефіцієнтів тертя поверхонь спряжених деталей, що залежать від багатьох факторів – стану поверхні, окисних плівок, випадкового потрапляння мастила тощо;
- зовнішніми навантаженнями.
Розрахунок надійності з’єднання з натягом проводиться за двома критеріями:
- за міцністю зчеплення деталей для передачі деякого навантаження;
- за міцністю деталей.
Розглянемо загальну задачу оцінки надійності з’єднання з натягом під дією моменту з середнім значенням 
та коефіцієнтом варіації 
(рис. 9.1).
Надійність з’єднань з натягом, що характеризується імовірністю безвідмовної роботи 
, визначається як добуток імовірностей безвідмовної роботи, знайдених за критеріями міцності зчеплення та міцності деталей:
. (9.1)
Імовірність безвідмовної роботи 
з’єднання з натягом за критерієм міцності зчеплення визначається за таблицями квантілей нормованого нормального розподілу в залежності від квантілі 
, що дорівнює
, (9.2)
де 
– коефіцієнт запасу міцності зчеплення по середнім значенням моментів; 
та 
– коефіцієнти варіації граничного та робочого моментів.
Граничний за міцністю зчеплення момент, тобто момент, який здатне передати з’єднання з натягом, Н×м:
 , (9.3)
де  – діаметр посадочної поверхні, мм;  – довжина посадочної поверхні, мм;  – тиск на посадочні поверхні, МПа,  – коефіцієнт тертя;  – коефіцієнт, що враховує зменшення сил зчеплення за рахунок місцевих зминань.
Для з’єднання суцільного валу зі ступицею із матеріалів з однаковим модулем пружності величина тиску на посадочні поверхні, МПа
 , (9.4)
| 
Рис. 9.1. Розрахункова схема до вирішення задачі оцінки надійності з’єднання з натягом, навантаженого крутним моментом 
|
де 
– натяг, мкм; 
– поправка на зминання посадочних поверхонь, мкм, що залежить від висоти їх мікронерівностей 
та 
, 
– модуль пружності, МПа; 
– коефіцієнт поперечного стискання, 
; 
– зовнішній діаметр ступиці, мм.
Середнє значення граничного моменту 
визначається за середніми значеннями тиску 
та коефіцієнта тертя 
. Середнє значення тиску знаходять із виразу (2), в який підставляють середнє значення натягу 
.
Коефіцієнт варіації граничного моменту
, (9.5)
де 
– коефіцієнт варіації коефіцієнта тертя; 
– коефіцієнт варіації тиску.
Коефіцієнт варіації коефіцієнта тертя стосовно з’єднань з натягом приймає значення 
.
Коефіцієнт варіації тиску:
, (9.6)
де 
, 
– коефіцієнт варіації та середнє квадратичне відхилення натягу.
Якщо вважати, що поправка на зминання набагато менша середнього значення натягу , то коефіцієнт варіації тиску 
.
Допуск натягу:
, (9.7)
Середнє квадратичне відхилення натягу:
. (9.8)
Коефіцієнт варіації натягу:
(9.9)
Імовірність безвідмовної роботи 
з’єднання з натягом за критерієм міцності деталей визначається в залежності від квантілі:
, (9.10)
де 
– коефіцієнт запасу міцності по середнім значенням допустимих та еквівалентних напружень; 
та 
– коефіцієнти варіації допустимих та еквівалентних напружень.
Небезпечні напруження виникають на внутрішній поверхні охоплюючої деталі. Умова міцності 
, де 
– найбільші еквівалентні напруження; 
– границя текучості матеріалу охоплюючої деталі.
Середнє значення еквівалентних напружень дорівнює:
. (9.11)
Коефіцієнт варіації напружень дорівнює коефіцієнту варіації тиску на посадочні поверхні з’єднання .
Завдання
Розрахувати імовірність безвідмовної роботи з’єднання зубчастого колеса з суцільним валом діаметром , що відповідає посадці 
. Крутний момент заданий випадковою нормально розподіленою величиною з середнім значенням 
і коефіцієнтом варіації 
. Зовнішній діаметр ступиці дорівнює ; довжина посадочної поверхні 
; висота мікронерівностей поверхонь валу та ступиці 
мкм, 
мкм; матеріал деталей – сталь 45.
Довідкові дані. Для сталі 45:
- модуль пружності 
МПа;
- середнє значення коефіцієнта тертя 
;
- коефіцієнт, що враховує зменшення сил зчеплення за рахунок місцевих зминань 
;
- середнє значення і коефіцієнт варіації границі текучості 
МПа, 
.
Таблиця 9.1
Вихідні дані
| № | Параметри з’єднання | |||
| варіанту |  , Н×м
| , мм
| , мм
| , мм
|
| 1 | 1055 | 86 | 46 | 55 |
| 2 | 1048 | 85 | 50 | 58 |
| 3 | 1052 | 82 | 35 | 56 |
| 4 | 1049 | 84 | 50 | 62 |
| 5 | 1053 | 88 | 46 | 60 |
| 6 | 1047 | 86 | 48 | 64 |
| 7 | 1056 | 85 | 50 | 65 |
| 8 | 1045 | 82 | 45 | 55 |
| 9 | 1054 | 84 | 58 | 58 |
| 10 | 1051 | 90 | 55 | 56 |
| 11 | 1050 | 86 | 46 | 62 |
| 12 | 1047 | 85 | 50 | 60 |
| 13 | 1049 | 82 | 36 | 64 |
| 14 | 1052 | 84 | 50 | 65 |
| 15 | 1056 | 90 | 60 | 55 |
| 16 | 1050 | 86 | 48 | 58 |
| 17 | 1046 | 85 | 50 | 56 |
| 18 | 1053 | 82 | 45 | 62 |
| 19 | 1051 | 84 | 50 | 60 |
| 20 | 1055 | 84 | 46 | 64 |
| 21 | 1053 | 88 | 48 | 65 |
| 22 | 1049 | 86 | 50 | 55 |
| 23 | 1047 | 85 | 46 | 58 |
| 24 | 1045 | 82 | 50 | 56 |
| 25 | 1052 | 84 | 45 | 62 |
Порядок виконання роботи
1. Вивчити метод розрахунку надійності з’єднання з натягом.
2. Записати умову задачі, вибравши значення величин 
, , , із табл. 9.1 у відповідності до варіанту завдання.
3. Із довідника [2] вибрати відхилення отвору та валу, що відповідають заданим діаметру та квалітетам. Розрахувати мінімальний, максимальний та середній натяги. Визначити допуск натягу, його середнє квадратичне відхилення та коефіцієнт варіації.
4. Визначити величину тиску на посадочні поверхні та коефіцієнт варіації тиску .
5. Розрахувати середнє значення граничного за міцністю зчеплення моменту 
та його коефіцієнт варіації .
6. Визначити коефіцієнт запасу міцності зчеплення 
по середнім значенням моментів.
7. Визначити квантіль нормованого нормального розподілу. За таблицею додатку 1 знайти імовірність безвідмовної роботи з’єднання за критерієм міцності зчеплення, що відповідає заданій квантілі.
8. Визначити середнє значення 
та коефіцієнт варіації еквівалентних напружень.
9. Визначити коефіцієнт запасу міцності по середнім значенням границі текучості матеріалу охоплюючої деталі та еквівалентних напружень.
10. Розрахувати квантіль нормованого нормального розподілу. За таблицею додатку 1 знайти імовірність безвідмовної роботи з’єднання за критерієм міцності деталей, що відповідає заданій квантілі.
11. Визначити імовірність безвідмовної роботи з’єднання з натягом як добуток імовірностей безвідмовної роботи, знайдених за критеріями міцності зчеплення та міцності деталей.
12. Оформити протокол лабораторної роботи та зробити висновки.
Контрольні запитання
1. Від чого залежить надійність з’єднань з натягом?
2. Як визначається імовірність безвідмовної роботи технічної системи за двома і більше критеріями? За якими критеріями визначається надійність з’єднання з натягом?
3. Як визначається імовірність безвідмовної роботи з’єднання з натягом за критерієм міцності зчеплення?
4. Як визначається імовірність безвідмовної роботи з’єднання з натягом за критерієм міцності охоплюючої деталі?
