Приведём другое решение

Прямоугольный треугольник.

1

Задание 18 № 169840

В пря­мо­уголь­ном треугольнике один из ка­те­тов равен 10, а угол, ле­жа­щий напротив него, равен 45°. Най­ди­те площадь треугольника.

Решение.

Так как в пря­мо­уголь­ном треугольнике один из углов равен 45°, то такой тре­уголь­ник является равнобедренным. Пло­щадь прямоугольного тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не произведения катетов. Таким образом:

 

Ответ: 50.

2

Задание 18 № 323159

Най­ди­те пло­щадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, если его катет и ги­по­те­ну­за равны со­от­вет­ствен­но 28 и 100.

 

Ответ: 1344.

3

Задание 18 № 323282

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке один из ка­те­тов равен 4, а ост­рый угол, при­ле­жа­щий к нему, равен 45°. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка.

Решение.

Сумма углов в тре­уголь­ни­ке равна 180°, по­это­му вто­рой ост­рый угол равен 180° − 90° − 45° = 45°. Оба ост­рых угла равны, следовательно, дан­ный тре­уголь­ник — равнобедренный, от­ку­да получаем, что вто­рой катет равен 4. Пло­щадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка можно найти как по­ло­ви­ну про­из­ве­де­ния катетов:

 

Ответ: 8.

4

Задание 18 № 323356

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ги­по­те­ну­за равна 70, а один из ост­рых углов равен 45°. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка.

Решение.

Сумма углов в тре­уголь­ни­ке равна 180°, по­это­му вто­рой ост­рый угол равен 180° − 90° − 45° = 45°. Оба ост­рых угла равны, следовательно, дан­ный тре­уголь­ник — равнобедренный, от­ку­да получаем, что оба ка­те­та равны. Длина ка­те­та равна Пло­щадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка можно найти как по­ло­ви­ну про­из­ве­де­ния катетов:

 

Ответ: 1225.

5

Задание 18 № 348415

Катеты прямоугольного треугольника равны 8 и 15. Найдите гипотенузу этого треугольника.

 

Ответ: 17

6

Задание 18 № 348554

Два катета прямоугольного треугольника равны 4 и 9. Найдите площадь этого треугольника.

Решение.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов. Таким образом:

 

Ответ: 18

 

Равнобедренный треугольник.

1

Задание 18 № 169847

Сторона рав­но­сто­рон­не­го треугольника равна 10. Най­ди­те его площадь, делённую на.

Решение.

Площадь тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не произведения сто­рон на синус угла между ними. Так как угол рав­но­сто­рон­не­го треугольника равен 60° и все сто­ро­ны равны 10, имеем:

 

 

Ответ: 25.

2

Задание 18 № 169848

Периметр рав­но­сто­рон­не­го треугольника равен 30. Най­ди­те его площадь, делённую на корень из трех.

Решение.

Так как в рав­но­сто­рон­нем треугольнике все сто­ро­ны равны, то сто­ро­на данного тре­уголь­ни­ка равна 10. Угол рав­но­сто­рон­не­го треугольника равен 60°. Пло­щадь треугольника равна по­ло­ви­не произведения сто­рон на синус угла между ними, имеем:

 

Ответ: 25.

 

3

Задание 18 № 169849

Высота рав­но­сто­рон­не­го треугольника равна 10. Най­ди­те его площадь

Решение.

Высота рав­но­сто­рон­не­го треугольника = а умножить на корень из трех деленное на 2. Таким образом, сто­ро­на равностороннего тре­уголь­ни­ка равна 20 делить на корень из трех. Пло­щадь треугольника равна по­ло­ви­не произведения сто­рон на синус угла между ними. Имеем:

Ответ 100 корней из трех деленное на три.

4

Задание 18 № 169850

В рав­но­бед­рен­ном треугольнике бо­ко­вая сторона равна 10, а угол, ле­жа­щий напротив основания, равен 120°. Най­ди­те площадь треугольника, делённую на корень из трех.

 

Ответ: 25.

 

5

Задание 18 № 169851

Периметр рав­но­бед­рен­но­го треугольника равен 16, а бо­ко­вая сторона — 5. Най­ди­те площадь треугольника.

 

Ответ: 12.

 

Приведём другое решение.

Найдя основание и боковые стороны равнобедренного треугольника, находим по теореме Пифагора высоту, она равна 4. Далее по формуле площади треугольника, находим, что она равна 12.

                                                        6

Задание 18 № 323179

Бо­ко­вая сто­ро­на рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка равна 34, а ос­но­ва­ние равно 60. Най­ди­те пло­щадь этого тре­уголь­ни­ка.

 

Ответ: 480.

 

7

Задание 18 № 323396

Пе­ри­метр рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка равен 216, а бо­ко­вая сто­ро­на — 78. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка.

Решение.

Периметр тре­уголь­ни­ка равен сумме длин его сторон, по­это­му длина ос­но­ва­ния равна 216 − 78 − 78 = 60. Вы­со­та проведённая к ос­но­ва­нию равнобедренного треугольника, также яв­ля­ет­ся его бис­сек­три­сой и медианой, по­это­му (см. рис.) имеем:

 

Площадь тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния ос­но­ва­ния на высоту:

 

 

Ответ: 2160.

 

Трапеция.