Принципы построения математической модели

Математическое моделирование — это процесс установления соответствия данному реальному объекту некоторого математического объекта, называемого математической моделью.

1.Адекватность. Соответствие модели целям исследования по уровню сложности и организации, а также соответствие реальной системе относительно выбранного множества свойств).

2.Соответствие модели решаемой задаче. Модель должна строиться для решения определенного класса задач или конкретной задачи исследования системы.

3. Упрощение при сохранении существенных свойств системы.

Модель должна быть проще прототипа — в этом смысл моделирования.

4. Соответствие между требуемой точностью результатов моделирования и сложностью модели.

5.Баланс погрешностей различных видов.

6.Многовариантность реализаций элементов модели. Разнообразие реализаций одного и того же элемента, отличающихся по точности обеспечивает регулирование соотношения «точность/сложность».

7. Блочное строение. Облегчается разработка сложных моделей и появляется возможность использования накопленного опыта и готовых блоков с минимальными связями между ними.

Практическими рекомендациями по уменьшению сложности моделей являются:

· изменение числа переменных, достигаемое либо исключением несущественных переменных, либо их объединением. Процесс преобразования модели в модель с меньшим числом переменных и ограничений называют агрегированием.

· изменение природы переменных. Например, переменные параметры рассматриваются в качестве постоянных, дискретные — в качестве непрерывных и т.п.

· изменение функциональной зависимости между переменными. Нелинейная зависимость заменяется обычно линейной, дискретная функция распределения вероятностей — непрерывной;

· изменение ограничений (добавление, исключение или модификация). При снятии ограничений получается оптимистичное решение, при введении — пессимистичное. Варьируя ограничениями можно найти возможные граничные значения эффективности. Такой прием часто используется для нахождения предварительных оценок эффективности решений на этапе постановки задач;

· ограничение точности модели. Точность результатов модели не может быть выше точности исходных данных.

Подходы к построению модели системы

В зависимости от конкретной ситуации возможны следующие подходы к построению моделей:

Непосредственный анализ функционирования системы.

Имеется целый ряд систем, которые допускают проведение непосредственных исследований по выявлению существенных параметров и отношений между ними. Затем либо применяются известные математические модели, либо они модифицируются либо предлагается новая модель.

2. Проведение ограниченного эксперимента на самой системе.

 При проведении эксперимента выявляется значительная часть существенных параметров и их влияние на эффективность системы. Такую цель преследуют, например, все командно-штабные игры и большинство учений.

3. Использование аналога.

Если метод построения модели системы не ясен, но ее структура очевидна, то можно воспользоваться сходством с более простой системой, модель для которой существует.

4. Анализ исходных данных.

К построению модели можно приступить на основе анализа исходных данных, которые уже известны или могут быть получены. Анализ позволяет сформулировать гипотезу о структуре системы, которая затем апробируется. Так появляются первые модели нового образца иностранной техники при наличии предварительных данных об их технических параметрах.

Этапы построения математической модели

Содержательное описание моделируемого объекта.

Объект моделирования описывается с позиций системного подхода.

Исходя из цели исследования устанавливаются:

- совокупность элементов,

- взаимосвязи между элементами,

- возможные состояния каждого элемента,

- существенные характеристики состояний и отношения между ними.

Формализация операций.

На основе содержательного описания определяется исходное множество характеристик системы.

Для выделения существенных характеристик системы необходим хотя бы приближенный анализ каждой из них. При проведении анализа опираются на постановку задачи и понимание природы исследуемой системы.

После исключения несущественных характеристик выделяют управляемые и неуправляемые параметры.

Затем определяются границы изменения управляемых параметров.

Проверка адекватности модели.

Требование адекватности находится в противоречии с требованием простоты, и это нужно учитывать при проверке модели на адекватность.

Исходный вариант модели предварительно проверяется по следующим основным аспектам:

u Все ли существенные параметры включены в модель?

u Нет ли в модели несущественных параметров?

u Правильно ли отражены функциональные связи между параметрами?

u Правильно ли определены ограничения на значения параметров?

Для установления соответствия создаваемой модели оригиналу используются следующие пути:

u сравнение результатов моделирования с экспериментальными результатами, полученными при функционировании реальной системы;

u сопоставление структуры и функционирования модели с прототипом.

По результатам проверки модели на адекватность принимается решение о возможности ее практического использования или о проведении корректировки.

Корректировка модели.

При корректировке модели могут уточняться:

- существенные параметры,

- ограничения на значения управляемых параметров,

- показатели исхода операции,

- связи показателей исхода операции с существенными параметрами,

- критерий эффективности.

После внесения изменений в модель вновь выполняется оценка адекватности.

Оптимизация модели

Сущность оптимизации модели состоит в ее упрощении при заданном уровне адекватности.

Основными показателями оптимизации модели выступают время и затраты средств для проведения исследований на ней.

В основе оптимизации лежит возможность преобразования модели из одной формы в другую. Преобразование может выполняться либо с использованием математических методов, либо эвристическим путем.