ТЕМА 4. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
ПЛАН
Понятие случайной величины.
Дискретные и непрерывные случайные величины.
Законы распределения СВ
Ряд распределения
Функция распределения
(интегральная функция распределения
Или интегральный закон распределения)
Свойства функции F(x)
Случайной величиной (СВ) называется величина, которая в результате испытания может принять одно из возможных своих значений, причем неизвестно заранее- какое именно.
СВ обозначаются: X,Y,Z,...
Для того, чтобы знать СВ, прежде всего необходимо знать те значения, которые она может принимать. Они обозначаются маленькими буквами.
Например: СВ Х принимает значения:
х1, х 2,..., хn
Дискретной (прерывной) СВ называется СВ, принимающая отдельные друг от друга значения, которые можно пронумеровать.
х1 х2 Х
Непрерывной СВ называется такая СВ, которая может принимать любые значения некоторого промежутка (своего для каждой СВ).
|
|
Характерным для непрерывной СВ является то, что ее возможные значения заполняют некоторый интервал, перечислить все возможные значения непрерывной СВ нельзя. А можно только указать границы, в которых они заключены.
Закон распределения СВ может иметь разные формы: ряд распределения, функция распределения, плотность распределения.
Рядом распределения дискретной СВ Х называется таблица, в которой перечислены возможные (различные) значения этой СВ: х1, х2,...,хn с соответствующими им вероятностями р1,р2,...,рn:
хi | х1 | х2 | .... | хn |
рi | р1 | р2 | .... | рn |
Таким образом, СВ Х в результате испытания может принять одно из возможных значений х1, х2,... хn с вероятностями:
Р(Х= x1)= р1, Р (Х= х2)= р2,..., Р(Х= хn)= рn. Так как события (Х= x1), (Х= х2),...,(Х= хn) составляют полную группу событий, то сумма вероятностей р1, р2,....., рn равна единице:
р1+р2+...+ рn=1 (2)
Ряд распределения можно изобразить графически. Для этого по оси абсцисс откладывают возможные значения СВ, а на оси ординат- их соответствующие вероятности. Точки (хi, хi) соединяют отрезками прямых.
Рис.1.
Функцией распределения ( интегральной функцией распределения) называется функция F(х), определяющая для каждого значения х вероятность того, что СВ Х примет значение, меньшее х, т.е.
F(x)= P (X<x) (3)
геометрически:
F(x) - есть вероятность того, что случайная точка Х окажется левее фиксируемой точки.
Функция распределения (интегральная функция распределения) существует как для дискретных, так и для непрерывных СВ. F(х) является универсальной формой закона распределения.
|
|
СВ Х называется непрерывной, если ее F(x)- непрерывная, кусочно дифференцируемая функция с непрерывной производной.