К контрольной работе № 4

Пример 1. ( Интегрирование с помощью замены переменной.)

Найти неопределенный интеграл .

Решение. Сделаем замену переменной , тогда Подставляя в подынтегральное выражение, получим

Пример 2. Найти интеграл .

Решение. Преобразуем подынтегральную функцию, выделив в числителе производную знаменателя. Для этого числитель представим в виде . Тогда

В первом интеграле сделаем замену переменной , . Получим

Для вычисления второго интеграла выделим в знаменателе полный квадрат .

Окончательно получим

Пример 3. (Интегрирование по частям). Найти неопределенный интеграл

I = x ²cos xdx

Решение. Полагаем u=x²; dv= cos xdx, v= sin x, du= 2 xdx.. В силу формулы интегрирования по частям udv=uv − vdu, имеем

I = х ²sin x − sin x 2 xdx.

Применяя к последнему интегралу еще раз формулу интегрирования по частям, получим (теперь уже u=x, dv= sin xdx)

I =x ²sin x − 2(−x cos x + cos xdx) = x² sin x+2x cos x − 2sin x +C.

Замечание. В интегралах вида x ^mln x dx; x ^m arctgx dx за функцию u(x) следует принимать ln x, arctg x соответственно.

Пример 4. (Интегрирование дробно-рациональной функции). Найти интеграл

I= .

Метод интегрирования дробно-рациональной функции заключается в разложении данной дроби на сумму многочлена и элементарных дробей и последующем интегрированием каждого слагаемого этого разложения. Рассмотрим эти два этапа решения на нашем примере.

Решение. 1). Подынтегральная функция имеет вид , где P (x) и Q(x) суть многочлены степени 5 и 4, соответственно:

P (x) =x ⁵ + 2 x ⁴ −x ² + 3; Q (x)= (x− 1)²(x ²+1).

Однако прежде чем искать разложение дроби на сумму элементарных дробей, следует выделить из данной дроби целую часть (т.е. некоторый многочлен) и правильную дробь т.е. такую дробь, в которой степень числителя меньше степени знаменателя. С этой целью преобразуем знаменатель Q (x) = x ⁴ − 2 x ³+ 2 x ² − 2 x + 1, после чего разделим многочлен P(x) на многочлен Q(x). Таким образом, получим

= x+ 4 + . (1)

Последняя дробь уже является правильной, поскольку степень числителя R(x)= 6x ³ − 7 x ²+7 x− 1 меньше степени знаменателя. Многочлен Q(x) имеет корень x= 1 кратности два, а также пару комплексно-сопряженных корней x=+i, x=−i поэтому разложение дроби R(x)/Q(x) следует искать в виде:

= , (2)

где числа А,В,С,D могут быть определены при помощи метода неопределенных коэффициентов. Приведем дроби, стоящие в правой части формулы (2), к общему знаменателю:

= , (3)

после чего приравняем числители в тождестве (3):

6 x ³ − 7 x ²+7 x− 1 = A (x ²+1)+ B (x− 1)(x ²+1)+(Cx+D) (x− 1)².

Положив в тожестве (4) х =1, найдем А =5/2. Остальные коэффициенты разложения (2) можно определить, сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной х в левой и правой частях тождества (4). В результате такого сравнения получим систему линейных уравнений относительно неизвестных В, С, D следующего вида

х ³ В + С= 6

х ²5/2 − В − 2 С +D =− 7

х ¹ B+C − 2 D = 7

x ⁰5/2 − B +D = − 1

Из этой системы последовательно находим D = − 1/2; В = 3; С = 3.

Таким образом, разложение (2) принимает вид:

= ,

откуда, возвращаясь к формуле (1), получаем новое выражение для подынтегральной функции, а именно:

f (x)= x +4 + . (5)

2).После проделанных преобразований нахождение исходного интеграла сводится к нахождению суммы либо табличных интегралов, либо интегралов, легко приводящихся к табличным. Из формулы (5) последовательно получаем:

I= f(x)dx= xdx+ 4 dx+

+ 5/2

= =

= (6)

Для нахождения последнего интеграла в формуле (6) проведем еще ряд несложных преобразований:

−

Oкончательно получаем

I= ,

где С - произвольная постоянная.

Замечание 1. В случае, когда заданная подынтегральная функция представляет собой правильную дробь, производить деление числителя на знаменатель не нужно, а следует сразу переходить к разложению этой дроби на сумму элементарных дробей.

Замечание 2. При разложении правильной дроби на сумму элементарных дробей с помощью метода неопределенных коэффициентов необходимо иметь в виду следующее. Если многочлен, стоящий в знаменателе исходной дроби, имеет вещественный корень х₀ кратности к 1, то этому корню должна отвечать (в разложении на элементарные дроби) группа членов, состоящая в точности из к слагаемых следующего вида:

+ ... + + .

При этом не исключено, что после применения метода неопределенных коэффициентов какие-то из чисел А_i (i= 1,2,...,k) могут оказаться равными нулю.

Пример 5. (Интегрирование иррациональных функций). Найти интеграл

Решение. Легко видеть, что подстановка преобразует подынтегральное выражение к дробно-рациональному виду. В самом деле, если , то 2 x− 1= z ⁶, откуда dx= 3 z⁵dz, , . Поэтому

= .

Дальше можно применять уже известный метод интегрирования дробно-рациональных функций, однако в данном случае удобно применить следующий искусственный прием, который быстро приводит к цели:

= = =

=3 z − 3 arctg z+C = 3 - 3 arctg + C.

Пример 6. (Интегрирование тригонометрических функций). Найти интеграл

I= sin ²x cos ³xdx.

Решение. Выполним подстановку t= sin x, тогда dt= cos xdx, следовательно:

I= sin² x cos ²x cos x dx= sin x (1 − sin² x) cos xdx=

= t² (1 − t²)dt = (t²−t⁴)dt=

=t³/ 3 − t⁵/ 5 + C = sin ³x − sin ⁵ x +C.

Пример 7. Найти интеграл I = sin⁴ xdx.

Решение. Преобразуем подынтегральное выражение, применив формулу понижения порядка, известную из тригонометрии:

I= sin ⁴x dx= (sin² x)²dx = (1 − cos2 x)² dx=

= (1 − 2 cos2 x + cos ² 2 x) dx=

= (1 − 2cos2 x + (1+cos4 x)/2) dx =

= x− sin2 x + sin4 x +C.

Пример 8. Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость.

1) x 3 ^-xdx; 2) .

Решение.

Несобственный интеграл от функции f (x) в пределах от а до +¥ определяется равенством

Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, если же предел не существует или равен бесконечности - расходящимся

1) x dx=

Несобственный интеграл сходится

2) = = = =

= = = .

Следовательно, интеграл расходится.

Пример 9. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y= 5 − x²; y=x+ 3.

Решение. Сделаем чертеж (рис.4). Найдем абсциссы точек пересечения линий: y= 5 −x², y=x+ 3. Для этого приравняем правые части уравнений

5 −x²=x+ 3.

Решая полученное уравнение, найдем

x ₁ =− 2, x ₂ = 1.

Bоспользуемся формулой площади криволинейной трапеции, ограниченной линиями y=y(x), x=a, x=b, y= 0:

S= y(x)dx.

В нашем случае площадь фигуры можно получить как разность площадей S₁ и S₂ двух криволинейных трапеций, ограниченных линиями y= 5 −x² и y=x+ 3, соответственно. В результате получим

S=S₁−S₂= (5 −x²) dx − (x+ 3) dx= (2 −x−x ²) dx =

= (2 x −x ² / 2 − x³/ 3) = (2 − 1/2 − 1/3) − (− 4 − 1/2+8/3) = 4,5.

Пример 10. В ычислить площадь фигуры, ограниченной линией

=a sin6 (a> 0).

Решение. Для построения графика линии, заданной в полярной системе координат (, ) уравнением вида = (), необходимо вначале установить при каких значениях полярного угла выполняется неравенство ( ) 0, обусловленное тем, что полярный радиус , являясь расстоянием от начала координат, всегда неотрицателен. В нашем случае sin6 0, откуда

2 n 6 2 n+ или n/ 3 n/ 3+ / 6. Здесь достаточно ограничиться значениями n =0,1,2,3,4,5, т.к. при других значениях n с точностью до целого числа полных оборотов полярного луча для будет получаться то же самое. Задаваясь значениями _i (i= 1,2...) и вычисляя соответствующие _i= ( _i)можно построить график линии (рис.5) Ограниченная этим графиком фигура называется шестилепестковой розой. Отметим, что линия = a sin k является графиком k -лепестковой розы, первый лепесток которой соответствует [0, /k ]. В случае =a cos k , т.е. =a sin k ( + / 2 k) мы имеем дело с той же k- лепестковой розой, только повернутой на угол / 2 k по часовой стрелке. Для нахождения площади фигуры, ограниченной линией = ()и двумя лучами = , = , ( < ) используется формула

S= ²( ) d

В нашем случае достаточно вычислить площадь одного лепестка (0 / 6) и ушестерить ее. Поэтому

S= 6 a ²sin²6 d =

= 3 a² (1 − cos12 )/2 d = 3/2 a² ( − sin12 /12) = a ²/4

Пример 11. Вычислить длину дуги кривой, заданной уравнением:

у= , 0 3.

Решение.

Длина дуги кривой, заданной уравнением y= f(x) при а в, вычисляется по формуле

В рассматриваемом случае

L= 3 = 3 arcsin (x /3) = 3 (arcsin 1 − arcsin 0) = 3 /4.

Пример 12. Вычислить длину дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями: x= cos t+ ln tg (t/2); y= sin t, причем / 4< t< / 2.

Решение. Если линия задана параметрически, т.е. уравнениями вида x=x(t); y=y(t), то длина L этой линии, соответствующей t вычисляется с помощью формулы

В рассматриваемом случае

L= = ctg t dt= ln = ln()=ln .

Здесь учтено, что при / 4 t / 2, ctg t> 0,

Пример 13. Вычислить объем тела. Которое получается при вращении вокруг оси ОX фигуры, ограниченной линиями:

у= 1+1/ х; х= 1; х= 3; у= 0.

Решение. Сделаем чертеж (рис.6). Воспользуемся формулой объема тела, полученного от вращения вокруг вокруг оси ОX криволинейной трапеции, ограниченной линиями у=у(х), х=а, х=в, у= 0: