Контрольная работа № 4

“Неопределенный и определенный интеграл”

Задача № 1

 

. Найти неопределенные интегралы. В первом примере (пункт а)) результат проверить дифференцированием.

1.  a)                 б)          в)   

  г)   д)    е)  

2.  a)   б)           в)

г)            д)   е)

3.  a)     б)               в)

 г)        д) е)  

4.  a)                   б)             в)    

г)       д)        е)

5.  a)                 б)        в)    

 г)    д)     е)  

6. a)          б)       в)  

  г)        д)                    е)

7.  a)                    б)               в)       

 г)  д)    е)

8.  a)               б)         в)

  г)        д)        е)     

9.  a)                   б)        в)   

  г)      д)       е)

10. a)                б)          в)       

   г)    д)           е)

11. a)                б)       в)

   г)  д)  е)

12.  a)   б)       в)    

   г)          д)         е)

13.  a)                 б)            в)

 г)  д)  е)

14.  a)              б)           в)    

  г)    д)    е)

15.  a)                    б)    в)  

 г)     д)  е)

16.  a)                     б)           в)

   г)    д)           е)

17.  a)         б)               в)  

   г)       д)     е)

18.  a)          б)         в)  

  г)        д)           е)

19.  a)                б)            в)    

 г)        д)            е)

20.  a)         б)         в)  

  г)       д)       е)

Задача 2

   Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.

1. ,        2. ,     3. ,

4. ,         5.                 6. ,

7. ,              8. ,                   9.  x                  10. ,          11. x cos2 x dx,             12. ,

13. ,            14. ,          15.               16. ,           17. ,            18.  x

19. ,      20. x sin(x ²) dx.

                                              

Задача № 3

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, уравнения которых заданы: а) в декартовой системе координат, б) в полярной системе координат. В обеих задачах сделать чертеж

1.     а) у= х ²;    у= 2 х+ 3;                б) =3 sin 2 .

2.     а) у = 2 х ²;     у =х /2;                 б) =4 cos .

3.     а) у = 4 х –  х ²;     у=х;              б) =2 cos 4 .

4.     а) у = х ² – 2 х +1;       у= –х+ 3;    б) =3 cos 2 .

   5.    а) у = х ²;  у= 3 х+ 4;                б) = 1 – cos .

   6.    а) у = 4 х – х ²;      у=х+ 2;           б) =2 cos 6 .

   7.    а) у = х ²/2+2;      у = х ²;             б) =2

   8.    а) у = 2 х – х ²;      у= –х;             б) = sin 3 .

   9.    а) у = 2 х – х ²;     у=х– 2;            б) = 2sin 4 .

   10. а) у = х ²;  у=–2х+ 3;              б) = sin 6 .

   11. а) у = – х ²/2;  у=х– 3/2;         б) = 3 (1+cos ).

   12. а) у = 4 х ²;  у= – х;                 б) = 2+sin .

   13. а) у = 3 х ² – 2;  у = х ²;              б) = 2+cos .

   14. а) у = х ² –х– 3; у=х;                б) = 1 – cos 2 .

   15. а) у = х ²;  у=– 3 х+ 4;              б) = 1 – sin .

   16. а) у = 2 х ² – 1;  у = х ²;              б) = 1+cos 2 .

   17. а) у = 4 – х ²;  у= 2 х+ 1;            б) = 1 – sin 2 .

18.   а) у = х ² – 2 х– 4;       у=х;             б) = 1+cos 3 .

19.   а) у = 3 х – х ²;      у= 2 х;             б) = 1+sin 3 .

20.   а) у = х ²;  у= – 2 х+ 3;               б) = 2 (1+sin ).

Задача № 4

Вычислить длину дуги кривой, заданной уравненими:

1. a) у= x ² – ln x,  1 2;    

б) x= 5 (t – sin t),       y= 5 (1 – cos x),      0 .

2. a)   y= + arcsin x,       0 7/9;

б)   x= 2 cos t – cos 2 t,      y= 2 sin t – sin 2 t,       0 /2.

3. a)   у= – ln cos x,        0 7/9;          

б)  x= 4 (cos t +t sin t),     y= 4 (sin t – t cos t),    0 /2.

4. a)   y=  + arccos x,      0 8/9;

б) x= 10 cos³ t,      y= 10 sin³ t,      0 /2.

5. a)  y= ln (1 – x ²),    0 1/4;       

  б)   x= 3 (t – sin t),  y= 3(1 – cos x),   0 /2.

6. a)   y= 1 – ln cos x,      0 /4;

б)  x= 3(cos t +t sin t),        y= 3 (sin t – t cos t),  0 /3.

   7. a)  y= arcsin x – ,       0 15/16; 

     б)   x= 6 cos³ t,         y= 6 sin³ t, /2 .

8. a)   y= 1 – ln sin x,      /3 /2;      

б) x= 2,5 (t – sin t),        y= 2,5 (1 – cos x), 0 /4.

9. a)   y= 1 – ln (x ² – 1),    3 4;

б)  x= 3,5 (2 cos t– cos 2 t),   y= 3,5 (2 sin t – sin 2 t),    0 /2.

10. a)   y= ln cos x + 2,      0 /6;

  б) x= 8 cos³ t,       y= 8 sin³ t, 0 /6.

11. a)   y=x ,    0 4;

б)   x= (t– sin t),        y=  (1 – cos x), 0 /2.

12. a)   y= ,   0   a;

б) x=  (2 cos t– cos 2 t),   y=  (2 sin t – sin 2 t),     0 /2.

13. a)   у= 1 – ln cos x,      0 /3;

б) x= cos t +t sin t,        y= sin t – t cos t,   0 /4.

14. a)   y= ln (1 –x ²) – 1,   0 1/2;

б)   x= t – sin t,      y= 1 – cos t,  0 /4.

15. a)   y= (1 – ),   0 1;

б) x= 0,1 cos³ t,        y= 0,1 sin³ t, 0   /4.

16. a)   y= (3+ ),     0  2;

б) x= (cos t +t sin t),        y= (sin t – t cos t),       0   /4.

17. a)   y= ln cos x + 5,     0 /6;

б) x= 2 cos³ t,       y= 2 sin³ t,    0   /4.

18. a)   y=  - arcsin x,   0 24/25;

б)  x= (cos t + sin t), y= (cos t – sin t),      0   /4.

19. a)   y= ln sin x – 1, /4 /3;

б)   x= cos t – cos2 t,  y= sin t – sin2 t, /2 2 /3.

20. a) y= ,     2  6;

 б) x=  (cos t + sin t),   y=  (cos t – sin t),    0  3 /2.

Задача № 5

Вычислить объем тела, полученного при вращении вокруг оси ОX фигуры, ограниченной заданными линиями. Сделать чертеж.

 

1.  у= 4 – х ²;   у= 0.           11.  у = 4 х – х ²;        у= 0.

   2. у = 4 х – х ²;   у = 3.      12. у= 4 – х ²;       у= – 2 х +4.

   3.    х ²+ у ²=4;         х = 1.            13. х ²+ у ²=9;  у= 3 –х.

   4.  у= 2 – х ²/2;  у= 0.           14. у = 2 х – х ²;       у= 0.

   5.    у= 2/ х;   х = 2; х = 4; у= 0. 15. у= 2 – х ²;       у= 2 –х.

  6. у= х ² – 1;       х = 3;      у= 0  16.  у= 3 – 2 х ²;  у= 1.

7. у ²=4 –х;       у= 0;        х= 0. 17.    у= 1/ х;     х= 1;      х = 2;      у= 0.

8. х ²+ у ²=4; у=х +2.            18.   х ² –у ²=1;  х = 2.

9.  у= 5 – х ²; у= 1.             19.    у ²=4 –х;   у= –х /2+2.

10. у= 4/ х;   у= 0; х = 2;    х= 4. 20.   х ² –у ²=1;   х = 2.

       

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ