Основные расчетные зависимости

3.1.1 Внутренний крутящий момент. При кручении в поперечных сечениях бруса возникает только один внутренний силовой фактор – крутящий момент М_к, который определяется по методу сечений.

Для внутреннего крутящего момента М_к в сечении вала применяется следующее условное правило знаков: при взгляде на сечение со стороны внешней нормали nкрутящий момент считается положительным, если он направлен против хода часовой стрелки (рисунок 3.2.).

На рисунке 3.2, а – в, показаны различные способы обозначения крутящего момента в поперечном сечении. В дальнейшем и внутренний крутящий момент М_к будет изображаться в виде пары сил, отмеченных кружками с точкой и крестиком – на рисунке 2.2, в, г показаны положительные направления момента при взгляде на сечение со стороны внешней нормали справа и слева соответственно.

а) б) в) г)

Рисунок 3.2 – Правило знаков.

Согласно методу сечений крутящий момент М_к в любом поперечном сечении определяется из уравнения равновесия (), составленного для отсеченной части вала строится эпюра крутящего момента (эп. М_к) – график изменения крутящего момента М_к( z) по длине вала.

3.1.2 Напряжения и перемещения для валакруглого сечении. На практике чаще всего применяются валы круглого поперечного сечения – сплошного или кольцевого. Для расчетов валов на прочность и жесткость необходимо вычисление касательных напряжений и угловых перемещений поперечных сечений.

В поперечном сечении вала возникают только касательные напряжения, которые в произвольной точке круглого сечения определяются по формуле:

; (3.1)

где I_p– полярный момент инерции сечения;

- расстояние от центра сечения до рассматриваемой точки сечения.

На рис.2.3 показаны эпюры касательных напряжений в поперечном сечении вала – сплошном (рисунок2.3, а) и кольцевом (рисунок 2.3, б).

а) б)

Рисунок 3.3 – Эпюры касательных напряжений

Максимальные касательные напряжения в сечении возникают в точках, наиболее удаленных от центра сечения при рисунок 3.3, и определяются по формуле

(3.2)

где W_p – полярный момент сопротивления сечения.

Полярный момент инерции и полярный момент сопротивления сечения определяются по следующим формулам:

−для сплошного круглого сечения:

;(3.3)

, (3.4)

−для кольцевого сечения:

(3.5)

,(3.6)

где α – коэффициент полости (отношение внутреннего диаметра сечения к наружному).

Деформационным параметром вала является относительный угол закручивания (угол закручивания на единицу длины):

,(3.7)

который вычисляется по формуле:

(3.8)

где G – модуль сдвига материала.

Единицей измерения относительного угла закручивания в СИ является рад/м. Произведение называется жесткостью сечения вала при кручении. Модуль сдвига Gдля изотропного материала

(3.9)

где Е– модуль продольной упругости; µ - коэффициент Пуассона.

При кручении поперечное сечение вала получает угловое перемещение − угол поворота сечения относительно оси вала. Угловое перемещение в произвольном сечении с осевой координатой zвычисляется интегрированием дифференциального соотношения (2.7) с учетом выражения (2.8):

,(3.10)

где - угол поворота сечения в начале координат (z=0).

Для участка вала существует понятие угла закручивания – взаимного угла поворота концевых сечений участка:

где l – длина участка вала.

Для отделенного участка вала постоянного сечения, на котором действует постоянный крутящий момент М_к, угол закручивания вычисляется по формуле:

.(3.11)

Для ступенчатого вала, на каждом участке которого крутящий момент и жесткость на кручении постоянны (), угол закручивания вала определяется по формуле