Математических моделях динамических систем

Общие сведения о динамических моделях системы и

Создание надежно работающих новых машин, усовершенствование существующих невозможно без решения вопросов о снижении вибрационной активности машин. В машинах текстильной промышленности вибрации вызывают только отрицательные последствия: от повышенного износа звеньев механизмов до нарушения технологического процесса и вредного влияния на обслуживающий персонал. Попытка полезного использования колебаний, например вибросъем в чесальных машинах, виброприбой в ткацких станках, до промышленного применения не доведена.

Решение задач о колебаниях механических систем можно разделить на несколько этапов. Профессором И.И. Вульфсоном в общем случае выделяется 5 основных этапов [84, 85]. Первый – упрощение исходного объекта, то есть его замена некоторой моделью, в которой стремятся отобразить наиболее существенные факторы рассматриваемой задачи. Поскольку речь идет о проблемах динамики, эту модель называют динамической. Второй этап – математическое описание исследуемого объекта системой дифференцированных, интегральных или интегро-дифференциальных уравнений, то есть построение математической модели. Третий – решение уравнений математической модели аналитическими, численными или численно-аналитическими методами. Четвертый этап – экспериментальная проверка принятых гипотез, допущений, достоверности принятой динамической модели. Пятый – решение задачи оптимизационного динамического синтеза механизма.

Основное значение имеет первый этап решения задачи, поскольку некорректно составленная динамическая модель перечеркивает все результаты аналитических расчетов, а, следовательно, и выводы, сделанные на основе анализа этих результатов. Вместе с тем при динамическом исследовании одному и тому же механизму может соответствовать не одна, а целый ряд динамических моделей. В этом случае выбор модели зависит не только от того, какие особенности исследуемой системы должны быть изучены, но и от требуемой степени точности предполагаемого расчета, достоверности исходной информации о параметрах системы и других факторов. Другими словами, динамическая модель должна обладать тем же запасом кинетической и потенциальной энергии (с достаточной степенью точности), что и реальная система. Кинетическая энергия тела зависит от его инерционных характеристик – массы, положения центра масс, момента инерции масс относительно центра масс. Потенциальная энергии зависит от его упругих свойств и характеристик. Упругие свойства определяются коэффициентами жесткости или обратными величинами – коэффициентами податливости, а деформации, кроме того, зависят и от внешних сил, действующих на данное тело.

Таким образом, для составления динамической модели исследуемой системы нам необходимо знать следующие ее параметры: массы (или моменты инерции масс) ее звеньев, жесткости упругих связей, коэффициенты рассеяния энергии отдельными звеньями этой системы и силы (или моменты), действующие на ее звенья. Динамическую модель можно получить если указать схематическую последовательность соединения инерционных, упругих, диссипативных элементов и силы, действующие на инерционные элементы. Следует иметь в виду, что эти элементы в реальных системах могут соединяться между собой как непосредственно, так и через передаточные устройства, которые должны быть также обозначены в динамической модели, либо все параметры системы должны быть приведены к оси движения какого-либо звена (удобнее – к оси движения входного или выходного звена исследуемой системы). При приведении параметров исходят из условий неизменности кинетической и потенциальной энергий.

Расчет упругих характеристик в ряде случаев вызывает затруднения. На-

пример, для коэффициента податливости клиноременной передачи приводятся формулы, дающие на порядок различающиеся результаты. В этих случаях принимают среднее значение параметра из всех полученных расчетным путем либо прибегают к экспериментальным методам. Диссипативные характеристики в основном определяются экспериментально, в качестве ориентировочных используются данные, полученные для подобных конструкций. Силовые характеристики необходимо представить в аналитической форме. Здесь эффективны методы аппроксимации и гармонического анализа, если эти характеристики в реальности имеют сложный характер.

Составленная первоначально динамическая модель во многих случаях может быть упрощена. На первом этапе упрощения существенно легкие элементы конструкции считаются вовсе лишенными массы, существенно податливые связи можно считать отсутствующими, а существенно жесткие – абсолютно жесткими. Таким путем первоначальную динамическую модель можно заменить моделью с меньшим числом степеней свободы. Дальнейшее упрощение возможно расчетным путем при соблюдении некоторых условий (метод проф. Е.И. Ривина [223].

В целом этап разработки динамической модели исследуемой системы довольно трудоемок и в настоящее время во многих случаях мало эффективен без использования специальных программных средств. От вида динамической модели будет зависеть математическая модель решаемой задачи. По структурным признакам динамические модели можно разделить на три класса: модели, образованные последовательным соединением инерционных и упругих элементов;  модели, образованные параллельно-последовательным соединением элементов, и модели, элементы которых образуют замкнутые контуры; модели, содержащие подсистемы с распределенными параметрами.

    Задачи динамики  механических систем решаются методами теории  коле-

баний и их можно разделить на 3 группы [85]:  задача о колебаниях в системах с одной степенью свободы; задача о колебаниях в системах с конечным числом степеней свободы; задача о колебаниях в системах с распределительными параметрами (то есть в системах с бесконечным числом степеней свободы). Кроме того, следует иметь в виду, что колебательные процессы можно разделить на линейные и нелинейные (движение описывается соответственно линейными и нелинейными дифференциальными уравнениями). В текстильной и легкой промышленности в большинстве случаев мы имеем дело с линейными системами.